Um barco utiliza, como sistema de propulsão, uma bomba succionando 200 \mathrm{l} / \mathrm{s} através de \Phi_{\text {entrada }}=500 \mathrm{~mm} (perpendicular ao movimento) e \Phi_{\text {saída }}=100 \mathrm{~mm}í (paralelo ao movimento). O conduto de saída está situado 2 m abaixo da superfície livre e para uma dada velocidade deseja-se calcular a força responsável pela locomoção do barco sendo de 4000 N a força de resistência ao avanço.
Resp: 1,25 \mathrm{kN}

Passo 1

O barco suga água com vazão Q=200\\ \mathrm{L/s} (ou seja, Q=0{,}2\\ \mathrm{m^3/s}) pela entrada de diâmetro \Phi_{\text{entrada}}=500\\ \mathrm{mm}, cuja tubulação é perpendicular ao avanço (logo não contribui com momento na direção do movimento), e ejeta pela saída de diâmetro \Phi_{\text{saída}}=100\\ \mathrm{mm}í, cujo eixo é paralelo ao movimento. A saída fica a h=2\\ \mathrm{m} abaixo da superfície livre e a resistência ao avanço é F_{\text{res}}=4000\\ \mathrm{N}.
Para achar a força de propulsão (e então a força resultante), vamos usar o princípio da quantidade de movimento (momentum) em regime permanente para um volume de controle fixo no barco, incluindo o tubo e a bomba.

Passo 2

Calcular a velocidade de saída da água:
a área da saída é
A_{\text{saída}} =\frac{\pi\,\Phi_{\text{saída}}^{2}}{4} =\frac{\pi\,(0{,}100\\ \mathrm{m})^{2}}{4} \approx0{,}00785\\ \mathrm{m^2}.íí
Logo
v_{\text{saída}} =\frac{Q}{A_{\text{saída}}} =\frac{0{,}2}{0{,}00785} \approx25{,}48\\ \mathrm{m/s}.íí

Passo 3

Calcular a diferença de pressão hidrostática na saída, em relação à atmosfera:
\Delta p =\rho\,g\,h =1000\\ \mathrm{kg/m^3}\times9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}\times2\\ \mathrm{m} \approx19620\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Escrever a equação de quantidade de movimento na direção do avanço (x):
\sum F_x =\dot m\,v_{\text{out}}-\dot m\,v_{\text{in}}
onde \dot m=\rho\,Q.
As contribuições externas em x são:
– a força de pressão na face de saída, \Delta p\,A_{\text{saída}}í, que empurra o volume de controle para trás;
– a força F_{\text{bomba}} que a bomba (e o casco) exercem sobre o fluido no sentido do avanço (é a propulsão que queremos).
Como v_{\text{in},x}=0, temos
F_{\text{bomba}} - \Delta p\,A_{\text{saída}} =\rho\,Q\,\bigl( -v_{\text{saída}}\bigr).íí
Rearranjando (e lembrando que o sinal de v_{\text{saída}}í é negativo no sentido +x, pois a água sai para trás), obtém‐se em módulo
F_{\text{bomba}} =\rho\,Q\,v_{\text{saída}} + \Delta p\,A_{\text{saída}}.íí

Passo 5

Substituindo valores:
\rho\,Q\,v_{\text{saída}} =1000\cdot0{,}2\cdot25{,}48 \approx5096\\ \mathrm{N},í
\Delta p\,A_{\text{saída}} =19620\cdot0{,}00785 \approx154\\ \mathrm{N}.í
Logo
F_{\text{bomba}} \approx5096+154 =5250\\ \mathrm{N}.

Passo 6

A força resultante que acelera o barco (ou mantêm a velocidade constante se igualar à resistência) é
F_{\text{net}} =F_{\text{bomba}}-F_{\text{res}} =5250-4000 =1250\\ \mathrm{N}.

Resposta

1{,}25\\ \mathrm{kN}

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