Para este " T " horizontal através do qual a água ( \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 ) está escoando, são dadas as seguintes informações: Q1 =0,4 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, \mathrm{Q} 2=0,3 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, \mathrm{p} 1= 100 \mathrm{kPa}, \mathrm{p} 2=70 \mathrm{kPa}, \mathrm{p} 3=80 \mathrm{kPa}, \mathrm{D} 1=15 \mathrm{~cm}, \mathrm{D} 2=7 \mathrm{~cm} e D3 =15 \mathrm{~cm}. Os valores de pressão dados são pressões manométricas. Para essas condições, qual força externa no plano x-y (por meio dos parafusos ou de outros dispositivos de sustentação) é necessária para manter o “T” no lugar? Resp:25,25 kN

Passo 1

O enunciado descreve um “T” por onde escoa água incompressível ( \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}) em regime permanente. Numeração das seções: 1 (ramo esquerdo), 2 (ramo inferior) e 3 (ramo direito). São dados os vazões e pressões manométricas:
\;Q_1=0,4\\ \mathrm{m^3/s},\;Q_2=0,3\\ \mathrm{m^3/s},\;p_1=100\\ \mathrm{kPa},\;p_2=70\\ \mathrm{kPa},\;p_3=80\\ \mathrm{kPa}.
Diâmetros: D_1=0{,}15\\ \mathrm m,\;D_2=0{,}07\\ \mathrm m,\;D_3=0{,}15\\ \mathrm m.
Objetivo: achar a força externa resultante no plano x- y (reação dos suportes) usando a equação integral de momento linear para controle de volume.

Passo 2

Pela conservação de massa em regime permanente temos vazão que sai pelo ramo 3
Q_3 = Q_1 - Q_2 = 0,4 - 0,3 = 0,1\\ \mathrm{m^3/s}.
As áreas das seções são
A_i = \frac{\pi}{4}D_i^2,
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A_1 = A_3 = \frac{\pi}{4}(0,15)^2 \approx 0,01767\\ \mathrm{m^2}, \quad A_2 = \frac{\pi}{4}(0,07)^2 \approx 0,00385\\ \mathrm{m^2}.
As velocidades médias assumidas uniformes em cada seção ficam
v_1 = \frac{Q_1}{A_1}\approx \frac{0,4}{0,01767}\approx22{,}6\\ \mathrm{m/s}, \quad v_2 = \frac{Q_2}{A_2}\approx \frac{0,3}{0,00385}\approx78{,}0\\ \mathrm{m/s}, \quad v_3 = \frac{Q_3}{A_3}\approx \frac{0,1}{0,01767}\approx5{,}66\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Aplicamos a equação de momento:
\sum \mathbf F = \sum \dot m\,\mathbf v_{\text{out}} - \sum \dot m\,\mathbf v_{\text{in}},
com \dot m_i=\rho\,Q_i. Há entrada só na seção 1 e saídas nas seções 2 e 3.
\dot m_1=1000\cdot0,4=400\\ \mathrm{kg/s},\quad\dot m_2=300\\ \mathrm{kg/s},\quad\dot m_3=100\\ \mathrm{kg/s}.
Momentos de massa–velocidade:
\sum\dot m\,\mathbf v_{\text{in}} = 400\cdot22{,}6\,\mathbf i = 9052\,\mathbf i\quad(\text{entrada em }+x),
\sum\dot m\,\mathbf v_{\text{out}} =300\cdot78{,}0\,(-\mathbf j)+100\cdot5{,}66\,\mathbf i =-23382\,\mathbf j + 566\,\mathbf i.
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\sum \dot m\,\mathbf v_{\text{out}}-\sum \dot m\,\mathbf v_{\text{in}} =(566-9052)\,\mathbf i +(-23382)\,\mathbf j =-8486\,\mathbf i -23382\,\mathbf j\quad[\mathrm N].

Passo 4

Agora as forças de pressão nas três seções são
\mathbf F_{p}=-\!\!\int p\,\mathbf n\,dA\approx -p_i A_i\,\mathbf n_i.
Normais para fora do CV: \mathbf n_1=-\mathbf i,\;\mathbf n_2=-\mathbf j,\;\mathbf n_3=+\mathbf i.
Assim
\mathbf F_{p1} = -p_1A_1\,(-\mathbf i)=p_1A_1\,\mathbf i, \quad \mathbf F_{p2} = -p_2A_2\,(-\mathbf j)=p_2A_2\,\mathbf j, \quad \mathbf F_{p3} = -p_3A_3\,(+\mathbf i)=-p_3A_3\,\mathbf i.
Numericamente
p_1A_1=100\,000\cdot0,01767\approx1767\\ \mathrm N, \quad p_2A_2=70\,000\cdot0,00385\approx269{,}5\\ \mathrm N, \quad p_3A_3=80\,000\cdot0,01767\approx1413{,}6\\ \mathrm N.
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\sum \mathbf F_{p}=(1767-1413{,}6)\,\mathbf i +269{,}5\,\mathbf j =353{,}4\,\mathbf i +269{,}5\,\mathbf j\\ \mathrm N.

Passo 5

Equilíbrio geral de forças no CV:
\mathbf F_{\text{suporte}}+\sum\mathbf F_{p} =\sum\dot m\,\mathbf v_{\text{out}}-\sum\dot m\,\mathbf v_{\text{in}}.
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\mathbf F_{\text{suporte}} =( -8486\,\mathbf i -23382\,\mathbf j ) - (353{,}4\,\mathbf i +269{,}5\,\mathbf j ) =-8839\,\mathbf i -23651\,\mathbf j\\ \mathrm N.

Passo 6

Magnitude da força de suporte no plano xy:
\|\mathbf F_{\text{suporte}}\| =\sqrt{(-8839)^2+(-23651)^2}\approx25241\\ \mathrm N \approx25{,}25\\ \mathrm{kN}.

Resposta

A força externa necessária no plano xy é de aproximadamente 25{,}25\\ \mathrm{kN}.

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