(\mathbf{2}, \mathbf{0}) Encontre os pontos sobre a superfície
x y+y z+x z-x-z^{2}=0
onde o plano tangente é paralelo ao plano x y(z=0).

Passo 1

O enunciado pede os pontos (x,y,z) na superfície
F(x,y,z)=xy + yz + xz - x - z^2 = 0
onde o plano tangente é paralelo ao plano z=0. O conteúdo usado será o gradiente de F, pois a normal ao plano tangente é \nabla F. Para que o plano tangente seja paralelo a z=0, sua normal deve ser paralela a (0,0,1), ou seja, as componentes nas direções x e y de \nabla F devem ser nulas.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F:
F_x = \frac{\partial}{\partial x}(xy + yz + xz - x - z^2) = y + z - 1,
F_y = \frac{\partial}{\partial y}(xy + yz + xz - x - z^2) = x + z,
F_z = \frac{\partial}{\partial z}(xy + yz + xz - x - z^2) = y + x - 2z.
A condição de paralelo a z=0 impõe
F_x = 0 \quad\text{e}\quad F_y = 0.

Passo 3

Escrevemos o sistema vindo de F_x=0 e F_y=0:
y + z - 1 = 0, \qquad x + z = 0.
Dessa forma,
x = -\,z, \qquad y = 1 - z.

Passo 4

Ainda é preciso garantir que o ponto esteja na superfície, ou seja, satisfaz
F(x,y,z)=0.
Substituindo x=-z e y=1-z em F obtemos
F(-z,\;1-z,\;z) = (-z)(1-z) + (1-z)z + (-z)z - (-z) - z^2.
Calculando:
(-z)(1-z)= -z + z^2, \quad (1-z)z= z - z^2, \quad (-z)z= -z^2, \quad -(-z)= +z.
Somando tudo:
-\,z + z^2 + z - z^2 - z^2 + z - z^2 = z - 2z^2.
Logo, a condição F=0 vira
z - 2z^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad z\,(1 - 2z)=0 \quad\Longrightarrow\quad z=0 \text{ ou } z=\tfrac12.

Passo 5

Para cada valor de z encontramos (x,y):
  • Se z=0, então x=-0=0 e y=1-0=1. Ponto (0,1,0).
  • Se z=\tfrac12, então x=-\tfrac12 e y=1-\tfrac12=\tfrac12. Ponto \bigl(-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12\bigr).

Resposta

(0,1,0) \quad\text{e}\quad \bigl(-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12\bigr).

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