(\mathbf{2}, \mathbf{0}) Quais são os valores máximo e mínimo de f(x, y)=-3 x^{2}-2 y^{2}+20 x y sobre a reta x+y=100 ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y) = -3x^2 - 2y^2 + 20xy e pede os valores máximo e mínimo sobre a reta x + y = 100. Vamos usar otimização de função quadrática com restrição linear via substituição.

Passo 2

Na reta x+y=100, temos
y = 100 - x.
Substituindo em f, definimos uma função de uma variável:
f(x) = f\bigl(x,\,100 - x\bigr) = -3x^2 \;-\;2(100 - x)^2 \;+\;20x(100 - x).

Passo 3

Expandindo e simplificando:
f(x) = -3x^2 -2\bigl(10000 - 200x + x^2\bigr) + 2000x - 20x^2 = -3x^2 -20000 +400x -2x^2 +2000x -20x^2 = -25x^2 + 2400x - 20000.

Passo 4

Observamos que f(x) é uma parábola com coeficiente quadrático
a = -25 < 0,
logo é côncava para baixo. Isso implica:
  • Há um único máximo (no vértice).
  • Não há mínimo finito, pois f(x)\to -\infty quando x\to\pm\infty.

Passo 5

O vértice da parábola f(x) = ax^2 + bx + c ocorre em
x^* = -\frac{b}{2a} = -\frac{2400}{2\cdot(-25)} = 48,
e
y^* = 100 - x^* = 52.
O valor máximo é
f(48) = -25\cdot48^2 + 2400\cdot48 - 20000 = 37600.

Passo 6

Como a<0, a parábola domina negativamente nos extremos, então
\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = -\infty,
ou seja, não existe valor mínimo.

Resposta

Máximo: f_{\max} = 37600 em (x,y) = (48,52).
Mínimo: não existe (função não está limitada inferiormente).

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