Exercício 16. Sejam
e
F=f1, f2, f3 bases tais que
& e1=f1+2 f2 & e2=f1+f2+f3 & e3=-f1-f2-2 f3
Determine as coordenadas do vetor
v=(1,2,-5)F na base
E .
Passo 1
O enunciado dá duas bases
E=e1,e2,e3 e
F=f1,f2,f3 de
R^3 ligadas por
O vetor
vec v tem coordenadas
(1,2,-5)F . Precisamos achar suas coordenadas
(a,b,c) em
E . Para isso escrevemos
substituímos as expressões em
F e igualamos às coordenadas dadas.
Passo 2
Substituindo
ei em termos de
fj obtemos
Agrupando os termos em
f1,f2,f3 fica
Passo 3
Como em
F temos
vec v = 1cdotf1 + 2cdotf2 + (-5)cdotf3 , igualamos coeficientes e formamos o sistema
Passo 4
Resolvendo:
Substituindo
a=1 em
a + b - c = 1 dá
b - c = 0 , logo
b = c . Finalmente em
b - 2c = -5 temos
Resposta
O vetor
vec v tem coordenadas
(1,5,5)E .