Exercício 16. Sejam E=e1, e2, e3 e F=f1, f2, f3 bases tais que
& e1=f1+2 f2 & e2=f1+f2+f3 & e3=-f1-f2-2 f3
Determine as coordenadas do vetor v=(1,2,-5)F na base E.

Passo 1

O enunciado dá duas bases E=e1,e2,e3 e F=f1,f2,f3 de R^3 ligadas por
e1=f1+2f2, e2=f1+f2+f3, e3=-f1-f2-2f3
O vetor vec v tem coordenadas (1,2,-5)F. Precisamos achar suas coordenadas (a,b,c) em E. Para isso escrevemos
vec v = a,e1 + b,e2 + c,e3,
substituímos as expressões em F e igualamos às coordenadas dadas.

Passo 2

Substituindo ei em termos de fj obtemos
vec v = a(f1+2f2) + b(f1+f2+f3) + c(-f1-f2-2f3)
Agrupando os termos em f1,f2,f3 fica
vec v = (a + b - c),f1 + (2a + b - c),f2 + (b - 2c),f3

Passo 3

Como em F temos vec v = 1cdotf1 + 2cdotf2 + (-5)cdotf3, igualamos coeficientes e formamos o sistema
a + b - c = 1, 2a + b - c = 2, b - 2c = -5

Passo 4

Resolvendo:
(2a + b - c) - (a + b - c) = 2 - 1 implies a = 1
Substituindo a=1 em a + b - c = 1 b - c = 0, logo b = c. Finalmente em b - 2c = -5 temos
c - 2c = -5 implies -c = -5 implies c = 5, b = 5

Resposta

O vetor vec v tem coordenadas (1,5,5)E.

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