Baricentro dos pontos A_{1}, A_{2}, A_{3} é, por definição, o ponto G que verifica
\overrightarrow{G A_{1}}+\overrightarrow{G A_{2}}+\overrightarrow{G A_{3}}=\overrightarrow{0} .
Prove que, dado um ponto O qualquer G=O+\left(\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}+\overrightarrow{O A_{3}}\right) / 3. Estenda o conceito e o resultado para n pontos. Compare com o exercício 13. Examine o caso particular de dois pontos.

Passo 1

O enunciado define o baricentro G dos pontos A_{1},A_{2},A_{3} por
\overrightarrow{G A_{1}}+\overrightarrow{G A_{2}}+\overrightarrow{G A_{3}}=\overrightarrow{0}.
Queremos provar que, para um ponto de referência qualquer O,
G \;=\; O \;+\;\frac{\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}+\overrightarrow{O A_{3}}}{3}.
Usaremos apenas propriedades de vetores livres, notadamente \overrightarrow{X Y}=\overrightarrow{O Y}-\overrightarrow{O X} e a linearidade da soma vetorial.

Passo 2

Defina
\mathbf r_i=\overrightarrow{O A_{i}},\quad i=1,2,3,
e seja
G = O + \frac{\mathbf r_{1}+\mathbf r_{2}+\mathbf r_{3}}{3}.
Ou seja, \overrightarrow{O G}=(\mathbf r_{1}+\mathbf r_{2}+\mathbf r_{3})/3.

Passo 3

Calcule cada vetor \overrightarrow{G A_{i}} usando
\overrightarrow{G A_{i}} =\overrightarrow{O A_{i}}-\overrightarrow{O G} =\mathbf r_{i}-\frac{\mathbf r_{1}+\mathbf r_{2}+\mathbf r_{3}}{3}.
Somando para i=1,2,3 obtém-se
\sum_{i=1}^{3}\overrightarrow{G A_{i}} =\bigl(\mathbf r_{1}+\mathbf r_{2}+\mathbf r_{3}\bigr) -3\cdot\frac{\mathbf r_{1}+\mathbf r_{2}+\mathbf r_{3}}{3} =\overrightarrow{0}.
Logo, G satisfaz a condição de baricentro.

Passo 4

Para n pontos A_{1},\dots,A_{n}, define-se analogamente o baricentro G por
\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{G A_{i}}=\overrightarrow{0}.
Repete-se o mesmo raciocínio com
\mathbf r_i=\overrightarrow{O A_{i}},\quad \overrightarrow{O G} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbf r_i,
chegando a
G = O + \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{O A_{i}}}{n}.

Passo 5

No caso particular n=2, o baricentro de A_{1},A_{2} verifica
\overrightarrow{O G} =\frac{\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}}{2},
ou seja, G é exatamente o ponto médio de A_{1}A_{2}.

Resposta

O baricentro de n pontos A_{1},\dots,A_{n} em relação a um ponto O qualquer é
G = O + \frac{\overrightarrow{O A_{1}} + \cdots + \overrightarrow{O A_{n}}}{n}.
No caso n=3 obtém-se o enunciado, e em n=2 reduz-se à fórmula do ponto médio.

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