Dados os vetores \vec{u}=2 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath} e \vec{v}=-2 \hat{\imath}+6 \hat{\jmath}. Determine algebricamente o vetor \vec{m} na igualdade 4 \vec{m}-2 \vec{v}=5 \vec{u}+8 \vec{m}.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec{u}=2\hat{\imath}-4\hat{\jmath} e \vec{v}=-2\hat{\imath}+6\hat{\jmath} e pede para achar \vec{m} que satisfaz
4\vec{m}-2\vec{v}=5\vec{u}+8\vec{m}.
Vamos resolver essa equação vetorial usando álgebra de vetores.

Passo 2

Isolamos os termos que contêm \vec{m} subtraindo 8\vec{m} de ambos os lados e somando 2\vec{v}:
4\vec{m}-8\vec{m}=5\vec{u}+2\vec{v}.

Passo 3

No lado esquerdo, 4\vec{m}-8\vec{m}=-4\vec{m}. Assim:
-4\vec{m}=5\vec{u}+2\vec{v}.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por -4 obtemos
\vec{m}=-\tfrac{1}{4}\bigl(5\vec{u}+2\vec{v}\bigr).

Passo 5

Substituindo \vec{u}=(2,-4) e \vec{v}=(-2,6):
5\vec{u}=(10,-20), \quad 2\vec{v}=(-4,12),
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5\vec{u}+2\vec{v}=(6,-8).
Aplicando o fator -\tfrac{1}{4}:
\vec{m}=\bigl(-\tfrac{1}{4}\times6,\,-\tfrac{1}{4}\times(-8)\bigr)=\bigl(-\tfrac{3}{2},2\bigr).

Resposta

\vec{m}=-\tfrac{3}{2}\hat{\imath}+2\hat{\jmath}.

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