Dados os vetores:
\vec{a}=a_{x} \hat{\boldsymbol{\imath}}+a_{y} \hat{\boldsymbol{\jmath}}+a_{z} \widehat{\boldsymbol{k}}, \vec{b}=b_{x} \hat{\boldsymbol{\imath}}+b_{y} \hat{\boldsymbol{\jmath}}+b_{z} \widehat{\boldsymbol{k}}, \vec{c}=c_{x} \hat{\boldsymbol{\imath}}+c_{y} \hat{\boldsymbol{\jmath}}+c_{z} \widehat{\boldsymbol{k}} e \vec{d}=d_{x} \hat{\boldsymbol{\imath}}+d_{y} \hat{\boldsymbol{\jmath}}+d_{z} \widehat{\boldsymbol{k}}
Mostre que:
(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=\vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c})-\vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c})

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade do produto vetorial triplo
(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c} = \vec{b}\,(\vec{a}\cdot\vec{c}) \;-\;\vec{a}\,(\vec{b}\cdot\vec{c}).
Isso faz parte de Álgebra Vetorial e vamos usar a notação de índices com o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk}, em que
(\vec{v}\times\vec{w})_{i} = \varepsilon_{i j k}\,v_{j}\,w_{k}.

Passo 2

Escrevendo componente a componente,
(\vec{a}\times\vec{b})_{n} = \varepsilon_{n q r}\,a_{q}\,b_{r}.

Passo 3

Agora calculamos
\bigl((\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}\bigr)_{m} = \varepsilon_{m n p}\,(\vec{a}\times\vec{b})_{n}\,c_{p} = \varepsilon_{m n p}\,\varepsilon_{n q r}\,a_{q}\,b_{r}\,c_{p}.

Passo 4

Aplicamos a identidade de contração de dois símbolos de Levi-Civita:
\varepsilon_{m n p}\,\varepsilon_{n q r} = \delta_{m q}\,\delta_{p r}\;-\;\delta_{m r}\,\delta_{p q},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker. Substituindo,
\bigl((\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}\bigr)_{m} = (\delta_{m q}\,\delta_{p r}-\delta_{m r}\,\delta_{p q})\,a_{q}\,b_{r}\,c_{p} = a_{m}\,b_{r}\,c_{r}\;-\;b_{m}\,a_{q}\,c_{q}.

Passo 5

Reconhecendo os produtos escalares \;b_{r}\,c_{r} = \vec{b}\cdot\vec{c}; e \;a_{q}\,c_{q} = \vec{a}\cdot\vec{c},
temos
\bigl((\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}\bigr)_{m} = a_{m}\,(\vec{b}\cdot\vec{c}) \;-\; b_{m}\,(\vec{a}\cdot\vec{c}).
Em notação vetorial, isso é justamente
(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c} = \vec{b}\,(\vec{a}\cdot\vec{c}) - \vec{a}\,(\vec{b}\cdot\vec{c}).

Resposta

(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c} = \vec{b}\,(\vec{a}\cdot\vec{c}) - \vec{a}\,(\vec{b}\cdot\vec{c}).

Exercícios relacionados