( 3,0 pontos) Classifique cada afirmação abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F). Assinale suas respostas ao lado dos itens. Cada respost a correta soma 0,2 ponto; cada resposta errada subtrai 0,2 ponto; respost as em branco são ignoradas, ou seja, não somam nem subtraem ponto.
(a) Seja
uma matriz de ordem
e
uma matriz de ordem
. Então,
.
(b) Sejam
e
duas matrizes invertíveis de ordem
. Então,
.
(c) Seja
uma matriz quadrada invertível. Então,
.
(d) Seja
uma matriz quadrada invertível. Então,
.
(e) Sejam
e
duas matrizes quadradas. Então,
.
(a) Seja
(b) Sejam
(c) Seja
(d) Seja
(e) Sejam
Passo 1
O enunciado pede para classificar cinco afirmações envolvendo operações com matrizes (transposta, inversa e determinante) como verdadeiras (V) ou falsas (F). Usaremos as propriedades clássicas:
- Transposta do produto:
. - Inversa do produto:
. - Transposta e inversa comutam:
. - Determinante da inversa:
, e determinante da transposta: . - Determinante do produto:
.
Passo 2
Item (a) afirma que
Pela propriedade de transposta do produto temos
que não coincide com
em geral. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
Item (b) afirma que
Mas a propriedade correta é
portanto a afirmação é falsa.
Passo 4
Item (c) afirma que
Isso decorre de transpor a identidade
e usar que a transposta preserva o produto. Essa igualdade vale em geral, logo é verdadeira.
Passo 5
Item (d) afirma que
Usando
e
, segue
portanto é verdadeira.
Passo 6
Item (e) afirma que
Como
essa igualdade vale sempre, sendo verdadeira.
Resposta
(a) F
(b) F
(c) V
(d) V
(e) V
(b) F
(c) V
(d) V
(e) V