( 3,0 pontos) Classifique cada afirmação abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F). Assinale suas respostas ao lado dos itens. Cada respost a correta soma 0,2 ponto; cada resposta errada subtrai 0,2 ponto; respost as em branco são ignoradas, ou seja, não somam nem subtraem ponto.
(a) Seja A uma matriz de ordem n \times m e B uma matriz de ordem m \times k. Então, (A B)^{T}=A^{T} B^{T}.
(b) Sejam A e B duas matrizes invertíveis de ordem n \times n. Então, (A B)^{-1}=A^{-1} B^{-1}.
(c) Seja A uma matriz quadrada invertível. Então, \left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{T}\right)^{-1}.
(d) Seja A uma matriz quadrada invertível. Então, \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=1 / \operatorname{det}\left(A^{T}\right).
(e) Sejam A e B duas matrizes quadradas. Então, \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(B A).

Passo 1

O enunciado pede para classificar cinco afirmações envolvendo operações com matrizes (transposta, inversa e determinante) como verdadeiras (V) ou falsas (F). Usaremos as propriedades clássicas:
  1. Transposta do produto: (A B)^T = B^T A^T.
  2. Inversa do produto: (A B)^{-1} = B^{-1} A^{-1}.
  3. Transposta e inversa comutam: (A^{-1})^T = (A^T)^{-1}.
  4. Determinante da inversa: \det(A^{-1}) = 1/\det(A), e determinante da transposta: \det(A^T)=\det(A).
  5. Determinante do produto: \det(A B)=\det(A)\det(B).

Passo 2

Item (a) afirma que
(AB)^T = A^T B^T.
Pela propriedade de transposta do produto temos
(AB)^T = B^T A^T,
que não coincide com A^T B^T em geral. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

Item (b) afirma que
(AB)^{-1} = A^{-1} B^{-1}.
Mas a propriedade correta é
(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1},
portanto a afirmação é falsa.

Passo 4

Item (c) afirma que
(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}.
Isso decorre de transpor a identidade A\,A^{-1}=I e usar que a transposta preserva o produto. Essa igualdade vale em geral, logo é verdadeira.

Passo 5

Item (d) afirma que
\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A^T)}.
Usando \det(A^{-1})=1/\det(A) e \det(A^T)=\det(A), segue
\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{\det(A^T)},
portanto é verdadeira.

Passo 6

Item (e) afirma que
\det(AB) = \det(BA).
Como
\det(AB)=\det(A)\det(B)=\det(B)\det(A)=\det(BA),
essa igualdade vale sempre, sendo verdadeira.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) V
(d) V
(e) V

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