Uma barra de 30 cm de comprimento é feita de um material para o qual
e cujas pontas estão termicamente isoladas. A temperatura inicial da barra é
, exceto pelo intervalo
, no qual a temperatura inicial é
. Encontre a temperatura
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma barra de 30 cm feita de um material onde
. As extremidades da barra estão termicamente isoladas, ou seja, não há troca de calor nessas pontas. A temperatura inicial da barra é
, exceto na região entre
cm, onde a temperatura é
. Nosso objetivo é encontrar a temperatura
em qualquer ponto
e tempo
. Para resolver isso, vamos usar a equação do calor e aplicar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação do calor, que descreve como a temperatura se distribui ao longo do tempo na barra:
Dado que
, a equação simplifica para:
Passo 3
As condições de contorno são de isolamento térmico nas extremidades da barra, o que significa que a derivada espacial da temperatura nas pontas é zero:
Essas são condições de Neumann.
Passo 4
Agora, vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de funções que dependem apenas de
e apenas de
:
Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 5
Resolvemos as equações separadamente. Para
:
Com as condições de contorno, as soluções são funções cosseno:
E os valores próprios são:
Para
:
A solução é exponencial:
Passo 6
A solução geral é uma soma das soluções dos diferentes modos:
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar os coeficientes
. A temperatura inicial é
entre
cm e
caso contrário. Usamos a expansão em série de Fourier de cossenos para determinar
:
Após calcular as integrais, obtemos os coeficientes
.
Resposta
A temperatura
na barra é dada por:
onde os coeficientes
são determinados pela condição inicial: