Uma barra de 30 cm de comprimento é feita de um material para o qual alpha^2=1 e cujas pontas estão termicamente isoladas. A temperatura inicial da barra é 0^circ C, exceto pelo intervalo 5 <= x <= 10, no qual a temperatura inicial é 25^circ C. Encontre a temperatura u(x, t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma barra de 30 cm feita de um material onde . As extremidades da barra estão termicamente isoladas, ou seja, não há troca de calor nessas pontas. A temperatura inicial da barra é , exceto na região entre cm, onde a temperatura é . Nosso objetivo é encontrar a temperatura em qualquer ponto e tempo . Para resolver isso, vamos usar a equação do calor e aplicar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação do calor, que descreve como a temperatura se distribui ao longo do tempo na barra:
partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2
Dado que partial upartial t = partial^2 upartial x^2 , a equação simplifica para:

Passo 3

As condições de contorno são de isolamento térmico nas extremidades da barra, o que significa que a derivada espacial da temperatura nas pontas é zero:
partial upartial x(0, t) = 0 e partial upartial x(30, t) = 0
Essas são condições de Neumann.

Passo 4

Agora, vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de funções que dependem apenas de u(x, t) = X(x)T(t) e apenas de X(x)dTdt = X''(x)T(t) :
1TdTdt = X''X = -lambda
Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 5

Resolvemos as equações separadamente. Para X'' + lambda X = 0 :
Xn(x) = cos(npi x30), n = 0, 1, 2, dots
Com as condições de contorno, as soluções são funções cosseno:
lambdan = (npi30)^2
E os valores próprios são:
dTdt = -lambdan T
Para Tn(t) = e^-lambdan t = e^-(npi30)^2 t :
A solução é exponencial:

Passo 6

A solução geral é uma soma das soluções dos diferentes modos:
u(x, t) = sumn=0^infty An cos(npi x30) e^-(npi30)^2 t
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar os coeficientes An = 230 integral0^30 u(x, 0) cos(npi x30) dx . A temperatura inicial é entre cm e caso contrário. Usamos a expansão em série de Fourier de cossenos para determinar :
Após calcular as integrais, obtemos os coeficientes .

Resposta

A temperatura u(x, t) = sumn=0^infty An cos(npi x30) e^-(npi30)^2 t na barra é dada por:
An = 230 integral0^30 u(x, 0) cos(npi x30) dx
onde os coeficientes são determinados pela condição inicial:

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