Um pedaço de cobre com massa m_c =200,0 \mathrm{~g} está a 100,0^{\circ} \mathrm{C} e é mergulhado em 300,0 \mathrm{~g} de água que está a 20,0^{\circ} \mathrm{C}, dentro de um calorímetro. Considere que o calorímetro tem uma capacidade térmica equivalente a 50,0 \mathrm{~g} de água (ou seja, a cada grau Celsius o calorímetro absorve a mesma energia que 50 g de água). Use os calores específicos:
  • água: c_w =4,18 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~g}^{-1 \cdot}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}
  • cobre: c_c =0,385 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~g}^{-1 \cdot}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}
    a) Determine a temperatura final de equilíbrio Tf .
    b) Calcule a quantidade de calor cedida pelo cobre e a quantidade de calor absorvida pela água e pelo calorímetro e mostre que Qcedido = Qabsorvido.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) Determinar a temperatura final de equilíbrio T_f.
b) Calcular a quantidade de calor cedida pelo cobre e a quantidade de calor absorvida pela água e pelo calorímetro, e mostrar que Q_{\text{cedido}} = Q_{\text{absorvido}}.
Informações dadas (vou listar exatamente os dados do enunciado):
m_c=200,0\\ \mathrm{g},\qquad T_{c,i}=100,0^\circ\mathrm{C}
m_w=300,0\\ \mathrm{g},\qquad T_{w,i}=20,0^\circ\mathrm{C}
O calorímetro tem capacidade térmica equivalente a 50,0\\ \mathrm{g} de água, ou seja, posso tratá‑lo como massa equivalente
m_{\text{cal}}=50,0\\ \mathrm{g}
Os calores específicos:
c_w=4,18\\ \mathrm{J\cdot g^{-1}\cdot ^\circ C^{-1}},\qquad c_c=0,385\\ \mathrm{J\cdot g^{-1}\cdot ^\circ C^{-1}}

Passo 2

Conceito e fórmula usada (explicadinha, sem pular etapas):
Quando não há trocas de calor com o ambiente, a energia térmica total se conserva: o calor perdido por corpos quentes é igual ao calor ganho por corpos frios. A fórmula básica para a quantidade de calor trocada por um corpo é
Q = m\,c\,\Delta T
onde:
  • Q é a quantidade de calor (em \mathrm{J}). Se o corpo perde calor, Q fica negativo usando \Delta T=T_f-T_i. Para facilitar, eu vou calcular magnitudes (valores positivos) quando fizer contas de “cedido” ou “absorvido”.
  • m é a massa (em \mathrm{g}).
  • c é o calor específico (em \mathrm{J\cdot g^{-1}\cdot ^\circ C^{-1}}).
  • \Delta T é a variação de temperatura \Delta T = T_f - T_i.
No nosso problema temos três “corpos” trocando calor: o cobre (esfria), a água (aquece) e o calorímetro (aquece). A equação de conservação de energia é
Q_c + Q_w + Q_{\text{cal}} = 0,
onde Q_c é o calor trocado pelo cobre (negativo, pois cede), Q_w é o calor da água (positivo, pois recebe) e Q_{\text{cal}} é o calor do calorímetro (positivo). Vou escrever cada Q em função de T_f.

Passo 3

Escrevendo cada termo com a fórmula Q=m c (T_f-T_i):
Cobre:
Q_c = m_c\,c_c\,(T_f - T_{c,i})
Água:
Q_w = m_w\,c_w\,(T_f - T_{w,i})
Calorímetro (tratado como água equivalente de massa m_{\text{cal}}):
Q_{\text{cal}} = m_{\text{cal}}\,c_w\,(T_f - T_{w,i})
Agora coloco tudo na equação de conservação:
m_c c_c (T_f - T_{c,i}) + m_w c_w (T_f - T_{w,i}) + m_{\text{cal}} c_w (T_f - T_{w,i}) = 0.

Passo 4

Substituo os valores numéricos das massas e calores específicos e simplifico passo a passo.
Primeiro calculo os coeficientes m c de cada corpo:
m_c c_c = 200,0 \times 0,385 = 77,0\\ \mathrm{J\cdot ^\circ C^{-1}}
m_w c_w = 300,0 \times 4,18 = 1254,0\\ \mathrm{J\cdot ^\circ C^{-1}}
m_{\text{cal}} c_w = 50,0 \times 4,18 = 209,0\\ \mathrm{J\cdot ^\circ C^{-1}}
Agora escrevo a equação com esses coeficientes:
77,0\,(T_f - 100,0) + 1254,0\,(T_f - 20,0) + 209,0\,(T_f - 20,0) = 0.
Agrupo os termos com T_f e os constantes separadamente. Primeiro somo os coeficientes dos termos em T_f:
77,0 + 1254,0 + 209,0 = 1540,0.
Agora somo os termos constantes (note o sinal negativo porque vêm de -100,0 e -20,0):
77,0\times 100,0 = 7700,0
(1254,0 + 209,0)\times 20,0 = 1463,0 \times 20,0 = 29260,0
Portanto a equação fica
1540,0\,T_f - (7700,0 + 29260,0) = 0.
Somando os constantes:
7700,0 + 29260,0 = 36960,0.

Passo 5

Resolvo a equação para T_f:
1540,0\,T_f = 36960,0
T_f = \frac{36960,0}{1540,0} = 24,0^\circ\mathrm{C}.
Interpretação rápida: o cobre quente (100 °C) esfria bastante, a água e o calorímetro aquecem; o equilíbrio ficou em 24,0^\circ\mathrm{C}, bem próximo da temperatura inicial da água porque a água tem massa e calor específico bem maiores que o cobre.

Passo 6

Agora calculo as quantidades de calor, usando magnitudes (valores positivos para “cedido” e “absorvido”).
Calor cedido pelo cobre (energia perdida pelo cobre):
Q_{\text{cedido,cobre}} = m_c\,c_c\,(T_{c,i} - T_f) = 77,0 \times (100,0-24,0) = 77,0 \times 76,0 = 5852\\ \mathrm{J}.
Calor absorvido pela água:
Q_{\text{absorv,agua}} = m_w\,c_w\,(T_f - T_{w,i}) = 1254,0 \times (24,0-20,0) = 1254,0 \times 4,0 = 5016\\ \mathrm{J}.
Calor absorvido pelo calorímetro:
Q_{\text{absorv,cal}} = m_{\text{cal}}\,c_w\,(T_f - T_{w,i}) = 209,0 \times 4,0 = 836\\ \mathrm{J}.
Somando as quantidades absorvidas:
Q_{\text{absorv,total}} = Q_{\text{absorv,agua}} + Q_{\text{absorv,cal}} = 5016 + 836 = 5852\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Verificação da conservação de energia:
Q_{\text{cedido,cobre}} = 5852\\ \mathrm{J} = Q_{\text{absorv,total}}.
Portanto a conta fecha: o calor cedido pelo cobre é igual ao calor absorvido pela água + calorímetro.

Resposta

a) T_f = 24,0^\circ\mathrm{C}
b) Q_{\text{cedido,cobre}} = 5852\\ \mathrm{J}
Q_{\text{absorv,agua}} = 5016\\ \mathrm{J}
Q_{\text{absorv,cal}} = 836\\ \mathrm{J}

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