Uma barra de aço tem
de diâmetro a
. Um anel de latão tem um diâmetro interno de
a
. Se os dois objetos são mantidos em equilíbrio térmico, a que temperatura a barra se ajusta perfeitamente ao furo? (
, R.
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre dilatação térmica de materiais. Especificamente, uma barra de aço e um anel de latão que, quando submetidos a mudanças de temperatura, vão alterar seus diâmetros. Nosso objetivo é descobrir a temperatura em que a barra de aço se ajusta perfeitamente ao furo do anel de latão. Para resolver isso, vamos precisar entender como a dilatação térmica funciona e usar as fórmulas que relacionam a variação de comprimento (ou diâmetro) com a temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que materiais como aço e latão expandem ou contraem quando a temperatura muda. A mudança no diâmetro (
) é dada pela fórmula:
Onde:
-
é o coeficiente de dilatação térmica do material. -
é o diâmetro inicial. -
é a variação de temperatura.
Passo 3
Vamos definir as variáveis:
- Para a barra de aço:
- Diâmetro inicial,
- Coeficiente de dilatação,
- Diâmetro inicial,
- Para o anel de latão:
- Diâmetro inicial,
- Coeficiente de dilatação,
- Diâmetro inicial,
Queremos encontrar a temperatura final
onde os diâmetros se ajustam perfeitamente. Isso significa que o diâmetro da barra de aço na temperatura
será igual ao diâmetro interno do anel de latão na mesma temperatura.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular como cada diâmetro muda com a temperatura. Para a barra de aço:
E para o anel de latão:
Passo 5
Como queremos que os diâmetros se igualem, temos:
Substituindo as expressões:
Passo 6
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar
:
Passo 7
Plugando os valores conhecidos:
Calculando a diferença de diâmetros:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Então:
Resposta
A temperatura em que a barra de aço se ajusta perfeitamente ao furo do anel de latão é aproximadamente 360°C.