Uma barra de aço tem 3,000 cm de diâmetro a 25 ^circ C. Um anel de latão tem um diâmetro interno de 2,992 cm a 25^circ C. Se os dois objetos são mantidos em equilíbrio térmico, a que temperatura a barra se ajusta perfeitamente ao furo? ( alpha aço =11 times 10^-6 / ^circ C, alpha latão =19 times 10^-6 / ^circ Cçã, R. 360^circ C )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre dilatação térmica de materiais. Especificamente, uma barra de aço e um anel de latão que, quando submetidos a mudanças de temperatura, vão alterar seus diâmetros. Nosso objetivo é descobrir a temperatura em que a barra de aço se ajusta perfeitamente ao furo do anel de latão. Para resolver isso, vamos precisar entender como a dilatação térmica funciona e usar as fórmulas que relacionam a variação de comprimento (ou diâmetro) com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que materiais como aço e latão expandem ou contraem quando a temperatura muda. A mudança no diâmetro ( De) é dada pela fórmula:
Onde:
  • é o coeficiente de dilatação térmica do material.
  • é o diâmetro inicial.
  • é a variação de temperatura.

Passo 3

Vamos definir as variáveis:
  • Para a barra de aço:
    • Diâmetro inicial, ç
    • Coeficiente de dilatação, ç
  • Para o anel de latão:
    • Diâmetro inicial, ã
    • Coeficiente de dilatação, ã
Queremos encontrar a temperatura final onde os diâmetros se ajustam perfeitamente. Isso significa que o diâmetro da barra de aço na temperatura será igual ao diâmetro interno do anel de latão na mesma temperatura.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular como cada diâmetro muda com a temperatura. Para a barra de aço:
Daço(T) = Daço,0 + Deçççççç
E para o anel de latão:
Dlatão(T) = Dlatão,0 + Deãããããã

Passo 5

Como queremos que os diâmetros se igualem, temos:
Daço(T) = Dlatão(T) çã
Substituindo as expressões:
Daço,0 + alphaaço cdot Daço,0 cdot (T - 25) = Dlatão,0 + alphalatão cdot Dlatão,0 cdot (T - 25) çççããã

Passo 6

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar Daço,0 - Dlatão,0 = ( alphalatão cdot Dlatão,0 - alphaaço cdot Daço,0 ) cdot (T - 25) :
çãããçç

Passo 7

Plugando os valores conhecidos:
3,000 , cm - 2,992 , cm = ( 19 times 10^-6/°C cdot 2,992 , cm - 11 times 10^-6/°C cdot 3,000 , cm ) cdot (T - 25)
Calculando a diferença de diâmetros:
0,008 , cm = ( 0,000056848 - 0,000033 ) cdot (T - 25)
0,008 , cm = 0,000023848 cdot (T - 25)

Passo 8

Agora, isolamos T - 25 = 0,0080,000023848 approx 335,6°C :
T = 335,6°C + 25°C = 360,6°C
Então:

Resposta

A temperatura em que a barra de aço se ajusta perfeitamente ao furo do anel de latão é aproximadamente 360°C.

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