7: Uma barra de aço a 25^circ C tem 3 cm de diâmetro. Um anel de latão tem diâmetro interior de 2.992 cm a 35^circ C. A que temperatura comum o anel se ajustará exatamente à barra? Dados: alpha aco =11 times 10^-6 / ^circ C e alpha latao =19 times 10^-6 / ^circ C.

Passo 1

Beleza, recapitulando o que o exercício pede:
– Temos uma barra de aço com diâmetro inicial Da0=3,00:cm a 25^circC.
– Temos um anel de latão com diâmetro interno inicial Dl0=2,992:cm a 35^circC.
Queremos achar a temperatura comum T na qual esses dois diâmetros ficam exatamente iguais.
Conteúdo usado: dilatação linear, com a fórmula
L = L0,l(1+alpha,De<a Tr),,
onde alpha é o coeficiente de dilatação e De<a T = T - T0.

Passo 2

Relembrando a teoria da dilatação linear:
Se um comprimento (ou diâmetro) L0 a T0 muda para temperatura T, o novo comprimento é
L(T) = L0,l[1 + alpha,(T - T0)r]
Aqui a gente vai aplicar isso separadamente ao aço e ao latão.

Passo 3

Para o aço ( alpharm aço=11times10^-6/^circCç, Ta0=25^circC):
Da(T) = 3,00:l[1 + 11times10^-6,(T - 25)r]

Passo 4

Para o latão ( alpharm latão=19times10^-6/^circCã, Tl0=35^circC):
Dl(T) = 2,992:l[1 + 19times10^-6,(T - 35)r]

Passo 5

No encaixe perfeito, precisamos de
Da(T) = Dl(T)
Ou seja,
3l[1 + 11times10^-6(T - 25)r] = 2,992l[1 + 19times10^-6(T - 35)r]
Agora é só expandir e isolar T:
  1. Expande LHS:
3 + 3cdot11times10^-6(T-25) =3 + 33times10^-6,T - 33times10^-6cdot25 =2,999175 + 33times10^-6,T
  1. Expande RHS:
2,992 + 2,992cdot19times10^-6(T-35) =2,99001032 + 56,848times10^-6,T
  1. Igualando:
2,999175 + 33times10^-6,T = 2,99001032 + 56,848times10^-6,T
2,999175 - 2,99001032 = (56,848times10^-6 - 33times10^-6),T
0,00916468 = 23,848times10^-6,T Longrightarrow T = 0,0091646823,848times10^-6 approx 384,3^circC

Resposta

A temperatura comum em que o anel de latão encaixa exatamente na barra de aço é aproximadamente
boxed384^circC

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