Considere a função de onda ( 3 , 0 p t s ):
psi(x, t)=A e^-lambda|x| e^-i w t
Onde A, lambda e omega são constantes reais positivas.
a) Normalize psi.
b) Determine o valor esperado de xex .
c) Encontre o desvio padrão de x e esboce o gráfico de |psi|^2.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda unidimensional
psi(x,t)=A e^-lambda|x|e^-iomega t
com A, lambda>0 e omega>0, e pede:
– (a) normalizar psi,
– (b) calcular lang<= xrang<=,
– (c) encontrar o desvio padrão De<a x e esboçar |psi|^2.
Para isso vamos usar a condição de normalização
integral-infty^infty|psi(x,t)|^2,dx=1,
além das definições
lang<= xrang<==integral-infty^inftyx,|psi|^2,dx, (De<a x)^2=lang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2

Passo 2

Para normalizar, note que |psi|^2=|A|^2e^-2lambda|x|. Então
1=integral-infty^infty|A|^2e^-2lambda|x|,dx =2|A|^2integral0^inftye^-2lambda x,dx =2|A|^212lambda =|A|^2lambda
Como escolhemos A real e positivo, fica
A=raizlambda

Passo 3

Para lang<= xrang<= temos
lang<= xrang<= =integral-infty^inftyx,|psi|^2,dx =lambdaintegral-infty^inftyx,e^-2lambda|x|,dx
Como a função x,e^-2lambda|x| é ímpar, a integral simétrica dá zero:
lang<= xrang<==0

Passo 4

Para lang<= x^2rang<= calculamos
lang<= x^2rang<= =lambdaintegral-infty^inftyx^2e^-2lambda|x|,dx =2lambdaintegral0^inftyx^2e^-2lambda x,dx =2lambda2!(2lambda)^3 =lambdacdot28lambda^3 =12lambda^2
Então o desvio padrão é
(De<a x)^2 =lang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2 =12lambda^2, De<a x=1raiz2,lambda

Passo 5

O gráfico de |psi|^2 em função de x é
|psi(x,t)|^2 =lambda e^-2lambda|x|,
que é máximo em x=0 com valor lambda e decai exponencialmente para pminfty. Esquematicamente, é uma curva em “V” suave, simétrica, de cauda exponencial.

Resposta

(a) A=raizlambda, ou seja
psi(x,t)=raizlambda,e^-lambda|x|e^-iomega t
(b) lang<= xrang<==0.
(c) De<a x=1/(raiz2,lambda). O gráfico de |psi|^2 é uma distribuição exponencial simétrica, com |psi|^2=lambda e^-2lambda|x|.

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