(Questão 04) Considere um oscilador massa-mola de constante elástica , massa , constante de amortecimento , sujeito à força externa periódica dada por , onde é a amplitude da força e é a frequência externa. A posição do oscilador é dada por .
a) Explique o efeito da primeira parcela da expressão acima sobre o movimento do oscilador. c) Calcule a média temporal das energias cinética e potencial em um ciclo para a solução estacionária.
d) Determine o valor da frequência para o qual a energia cinética tenha um máximo. Qual o valor da frequência de ressonância para a energia potencial? São estas frequências iguais? Explique.
Passo 1
O enunciado trata de um oscilador massa–mola com amortecimento linear (coeficiente ) e força externa periódica . A solução geral é
onde e , com .
Parte (a) pede interpretação da primeira parcela (a “transiente”). As partes (c) e (d) envolvem cálculo da energia média cinética e potencial no regime estacionário (segunda parcela) e determinação das frequências que maximizam essas energias.
Passo 2
(a) A parcela
é a solução do regime livre amortecido. Ela depende das condições iniciais () e decai exponencialmente com constante . Logo, ela influencia o movimento apenas por um tempo finito e, para , desaparece, restando apenas a resposta forçada estacionária .
Como gamma>0, omegap<omega0. Portanto omegac e omegap não coincidem: o pico da energia cinética fica em omega0, enquanto o da energia potencial é deslocado para frequências menores devido ao amortecimento.
Resposta
a) A primeira parcela é o transiente livre amortecido que decai exponencialmente, não contribuindo no regime estacionário.
c)