(Questão 04) Considere um oscilador massa-mola de constante elástica k, massa m, constante de amortecimento gamma, sujeito à força externa periódica dada por F=F0 cos omega t, onde F0 é a amplitude da força e omega é a frequência externa. A posição do oscilador é dada por x(t)=A0 e^-r t / 2 cos (omega1 t+ phi0)+A(omega) cos [omega t+phi(omega)].
a) (0,5) Explique o efeito da primeira parcela da expressão acima sobre o movimento do oscilador. c) (1,0) Calcule a média temporal das energias cinética e potencial em um ciclo para a solução estacionária.
d) (1,0) Determine o valor da frequência omegac para o qual a energia cinética tenha um máximo. Qual o valor da frequência de ressonância omegap para a energia potencial? São estas frequências iguais? Explique.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador massa–mola com amortecimento linear (coeficiente gamma) e força externa periódica F(t)=F0cosomega t. A solução geral é
x(t)=A0e^-r t/2cosl(omega1t+phi0r)+A(omega)cosl[omega t+phi(omega)r],
onde r=gamma/m e omega1=raizomega0^2-(r/2)^2, com omega0=raizk/m.
Parte (a) pede interpretação da primeira parcela (a “transiente”). As partes (c) e (d) envolvem cálculo da energia média cinética e potencial no regime estacionário (segunda parcela) e determinação das frequências que maximizam essas energias.

Passo 2

(a) A parcela
xrm tr(t)=A0e^-r t/2cosl(omega1t+phi0r)
é a solução do regime livre amortecido. Ela depende das condições iniciais ( A0,phi0) e decai exponencialmente com constante r/2=gamma/(2m). Logo, ela influencia o movimento apenas por um tempo finito e, para ttoinfty, desaparece, restando apenas a resposta forçada estacionária xrm st(t)=A(omega)cos[omega t+phi(omega)].

Passo 3

No regime estacionário a solução satisfaz
mddot x+gammadot x+kx=F0cosomega t
e assume a forma
xrm st(t)=A(omega)cosl[omega t+phi(omega)r]
com amplitude
A(omega) =F0raiz(k-momega^2)^2+(gammaomega)^2
e defasagem phi(omega) irrelevante para as energias médias.

Passo 4

(c) A energia cinética instantânea é
K(t)=tfrac12,mdot xrm st^2(t) =tfrac12,ml[-omega Asin(omega t+phi)r]^2 =tfrac12,momega^2A^2sin^2(omega t+phi)
A média em um ciclo (usando sin^2=1/2) é
K =12,momega^2A^2times12 =momega^2A^24
Analogamente, a energia potencial instantânea é
U(t)=tfrac12,k,xrm st^2(t) =tfrac12,k,A^2cos^2(omega t+phi),
e sua média (usando cos^2=1/2) é
U =12,k,A^2times12 =kA^24
Substituindo
A^2=F0^2(k-momega^2)^2+(gammaomega)^2, obtemos
K =F0^24, momega^2(k-momega^2)^2+(gammaomega)^2, U =F0^24, k(k-momega^2)^2+(gammaomega)^2

Passo 5

(d) Para achar omegac que maximiza K(omega), basta resolver
dK/domega=0. Fazendo isso, chega-se a
omegac=raizkm=omega0

Passo 6

Para maximizar U(omega) verificamos dU/domega=0, o que leva a
k-momega^2=gamma^22m Longrightarrow omegap =raizomega0^2-gamma^22m^2
Como gamma>0, omegap<omega0. Portanto omegac e omegap não coincidem: o pico da energia cinética fica em omega0, enquanto o da energia potencial é deslocado para frequências menores devido ao amortecimento.

Resposta

a) A primeira parcela é o transiente livre amortecido que decai exponencialmente, não contribuindo no regime estacionário.
c)
K = F0^24 , momega^2(k - momega^2)^2 + (gamma omega)^2 ,
\quad
U = F0^24 , k(k - momega^2)^2 + (gamma omega)^2 .
d)
omegac = omega0 = raizkm ,
\quad
omegap = raizomega0^2 - gamma^22 m^2 ,
não são iguais, pois o amortecimento desloca o pico de U para baixo de omega0.

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