Uma barra com carga total
se encontra contida no eixo
entre as coordenadas
. Ela possui uma densidade linear de carga definida pela função
.
(a) Prove que o potencial elétrico no semi-eixo
positivo é
(a) Prove que o potencial elétrico no semi-eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma barra carregada com carga total $ Q $ que está no eixo $ X $ entre $ x = -L $ e $ x = 0 $. A densidade linear de carga dessa barra é dada por $ \lambda(x) = c_{0}\left(1 - \frac{2x}{L}\right) $. Nosso objetivo aqui é provar que o potencial elétrico no semi-eixo $ X $ positivo é
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o cálculo do potencial elétrico devido a uma distribuição contínua de carga.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular o potencial elétrico $ V(x) $ em um ponto devido a uma distribuição contínua de carga. A fórmula geral para o potencial devido a um elemento de carga $ dq $ é:
Onde:
- $ k $ é a constante eletrostática ($ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $)
- $ dq $ é um elemento de carga
- $ r $ é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial
No nosso caso, a carga está distribuída ao longo da barra de $ x = -L $ a $ x = 0 $, e queremos o potencial em um ponto no semi-eixo $ X $ positivo, digamos em $ x > 0 $.
Passo 3
Vamos parametrizar o elemento de carga $ dq $ ao longo da barra. A densidade linear de carga é $ \lambda(x) = c_{0}\left(1 - \frac{2x}{L}\right) $, então o elemento de carga $ dq $ em um pequeno intervalo $ dx $ é:
Agora, a distância $ r $ entre um ponto $ x’ $ na barra e o ponto onde estamos calculando o potencial $ x $ é $ r = x - x’ $ (já que $ x $ está no semi-eixo positivo e $ x’ $ varia de $ -L $ a $ 0 $).
Passo 4
Substituindo $ dq $ e $ r $ na expressão de $ dV $, temos:
Para encontrar o potencial total $ V(x) $, integramos $ dV $ de $ x’ = -L $ a $ x’ = 0 $:
Passo 5
Vamos simplificar a integral. Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar:
Deixe $ u = x - x’ $, então $ du = -dx’ $. Quando $ x’ = -L $, $ u = x + L $; quando $ x’ = 0 $, $ u = x $.
Reescrevendo a integral:
Simplificando dentro da integral:
Então:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
As integrais são:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos relacionar $ c_{0} $ com a carga total $ Q $. A carga total $ Q $ é a integral da densidade de carga ao longo da barra:
Calculando a integral:
Então, $ c_{0} = \frac{Q}{2L} $.
Passo 8
Substituindo $ c_{0} = \frac{Q}{2L} $ na expressão do potencial:
Resposta
Portanto, o potencial elétrico no semi-eixo $ X $ positivo é