Uma barra com carga total Q se encontra contida no eixo X entre as coordenadas x=-L e x=0. Ela possui uma densidade linear de carga definida pela função lambda(x)=c0(1-2 x / L).
(a) Prove que o potencial elétrico no semi-eixo X positivo é
V(x)=k Q2 L[2+(1-2 xL) ln (1+Lx)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma barra carregada com carga total $ Q $ que está no eixo $ X $ entre $ x = -L $ e $ x = 0 $. A densidade linear de carga dessa barra é dada por $ \lambda(x) = c_{0}\left(1 - \frac{2x}{L}\right) $. Nosso objetivo aqui é provar que o potencial elétrico no semi-eixo $ X $ positivo é
Q
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o cálculo do potencial elétrico devido a uma distribuição contínua de carga.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular o potencial elétrico $ V(x) $ em um ponto devido a uma distribuição contínua de carga. A fórmula geral para o potencial devido a um elemento de carga $ dq $ é:
V(x)
Onde:
  • $ k $ é a constante eletrostática ($ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $)
  • $ dq $ é um elemento de carga
  • $ r $ é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial
No nosso caso, a carga está distribuída ao longo da barra de $ x = -L $ a $ x = 0 $, e queremos o potencial em um ponto no semi-eixo $ X $ positivo, digamos em $ x > 0 $.

Passo 3

Vamos parametrizar o elemento de carga $ dq $ ao longo da barra. A densidade linear de carga é $ \lambda(x) = c_{0}\left(1 - \frac{2x}{L}\right) $, então o elemento de carga $ dq $ em um pequeno intervalo $ dx $ é:
dq
Agora, a distância $ r $ entre um ponto $ x’ $ na barra e o ponto onde estamos calculando o potencial $ x $ é $ r = x - x’ $ (já que $ x $ está no semi-eixo positivo e $ x’ $ varia de $ -L $ a $ 0 $).

Passo 4

Substituindo $ dq $ e $ r $ na expressão de $ dV $, temos:
dq
Para encontrar o potencial total $ V(x) $, integramos $ dV $ de $ x’ = -L $ a $ x’ = 0 $:
r

Passo 5

Vamos simplificar a integral. Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar:
Deixe $ u = x - x’ $, então $ du = -dx’ $. Quando $ x’ = -L $, $ u = x + L $; quando $ x’ = 0 $, $ u = x $.
Reescrevendo a integral:
u = x - x'
Simplificando dentro da integral:
du = -dx'
Então:
x' = -L

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
V(x) = k cdot c0 ( (1 - 2xL) integralx^x + L 1u du + 2L integralx^x + L du )
As integrais são:
integralx^x + L 1u du = ln(x + Lx)
integralx^x + L du = L
Substituindo de volta:
V(x) = k cdot c0 ( (1 - 2xL) ln(1 + Lx) + 2L cdot L )
Simplificando:
V(x) = k cdot c0 (2 + (1 - 2xL) ln(1 + Lx))

Passo 7

Agora, precisamos relacionar $ c_{0} $ com a carga total $ Q $. A carga total $ Q $ é a integral da densidade de carga ao longo da barra:
c0
Calculando a integral:
Q
Q
Q = integral-L^0 lambda(x) dx = integral-L^0 c0(1 - 2xL) dx
Então, $ c_{0} = \frac{Q}{2L} $.

Passo 8

Substituindo $ c_{0} = \frac{Q}{2L} $ na expressão do potencial:
c0 = Q2L

Resposta

Portanto, o potencial elétrico no semi-eixo $ X $ positivo é
X

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