Calcule o trabalho realizado por um agente externo para fixar as cargas pontuais
,
e
nas posições
e
respectivamente. Considere que as cargas são trazidas do infinito onde tinham velocidade nula. R. 9,0259 J.
Passo 1
Então, mano, a gente tem um exercício de física que pede pra calcular o trabalho realizado por um agente externo para fixar três cargas pontuais. As cargas são:
- $ q_{1} = 10 , \mu C $
- $ q_{2} = -5 , \mu C $
- $ q_{3} = 20 , \mu C $
As posições delas são:
- $ \vec{x}_{1} = (10, 10, 10) $ cm
- $ \vec{x}_{2} = (0, 0, 0) $ cm
- $ \vec{x}_{3} = (0, 10, 10) $ cm
A gente precisa calcular o trabalho feito pra trazer essas cargas do infinito até essas posições, considerando que elas começam do infinito com velocidade zero. O conteúdo que vamos usar aqui é o de trabalho elétrico e energia potencial elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do trabalho $ W $ feito para trazer uma carga $ q $ de um ponto a outro no campo elétrico criado pelas outras cargas. A energia potencial elétrica para um sistema de cargas é dada por:
Onde:
- $ \varepsilon_{0} $ é a permissividade do vácuo ($ \varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} , C^2/N \cdot m^2 $)
- $ q_i $ e $ q_j $ são as cargas
- $ r_{ij} $ é a distância entre as cargas $ i $ e $ j $
O trabalho total é igual à energia potencial elétrica do sistema.
Passo 3
Vamos calcular as distâncias entre cada par de cargas.
Primeiro, convertendo as posições de centímetros para metros:
- $ \vec{x}_{1} = (0.10, 0.10, 0.10) $ m
- $ \vec{x}_{2} = (0, 0, 0) $ m
- $ \vec{x}_{3} = (0, 0.10, 0.10) $ m
Agora, as distâncias:
- Entre $ q_{1} $ e $ q_{2} $:
- Entre $ q_{1} $ e $ q_{3} $:
- Entre $ q_{2} $ e $ q_{3} $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia potencial para cada par de cargas usando a fórmula:
Onde:
- $ q_i $ e $ q_j $ estão em Coulombs. Então, vamos converter de microcoulombs para Coulombs:
- $ q_{1} = 10 \times 10^{-6} , C $
- $ q_{2} = -5 \times 10^{-6} , C $
- $ q_{3} = 20 \times 10^{-6} , C $
Vamos calcular cada $ U_{ij} $:
- $ U_{12} $:
- $ U_{13} $:
- $ U_{23} $:
Passo 5
Finalmente, somamos todas as energias potenciais para obter o trabalho total realizado pelo agente externo:
Resposta
O trabalho realizado pelo agente externo é aproximadamente $ 9.0259 , J $.