Calcule o trabalho realizado por um agente externo para fixar as cargas pontuais q1=10 mu C, q2=-5 mu C e q3=20 mu C nas posições x1=(10,10,10) cm, x2=(0,0,0) cm e x3=(0,10,10) cm respectivamente. Considere que as cargas são trazidas do infinito onde tinham velocidade nula. R. 9,0259 J.

Passo 1

Então, mano, a gente tem um exercício de física que pede pra calcular o trabalho realizado por um agente externo para fixar três cargas pontuais. As cargas são:
  • $ q_{1} = 10 , \mu C $
  • $ q_{2} = -5 , \mu C $
  • $ q_{3} = 20 , \mu C $
As posições delas são:
  • $ \vec{x}_{1} = (10, 10, 10) $ cm
  • $ \vec{x}_{2} = (0, 0, 0) $ cm
  • $ \vec{x}_{3} = (0, 10, 10) $ cm
A gente precisa calcular o trabalho feito pra trazer essas cargas do infinito até essas posições, considerando que elas começam do infinito com velocidade zero. O conteúdo que vamos usar aqui é o de trabalho elétrico e energia potencial elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do trabalho $ W $ feito para trazer uma carga $ q $ de um ponto a outro no campo elétrico criado pelas outras cargas. A energia potencial elétrica para um sistema de cargas é dada por:
W
Onde:
  • $ \varepsilon_{0} $ é a permissividade do vácuo ($ \varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} , C^2/N \cdot m^2 $)
  • $ q_i $ e $ q_j $ são as cargas
  • $ r_{ij} $ é a distância entre as cargas $ i $ e $ j $
O trabalho total é igual à energia potencial elétrica do sistema.

Passo 3

Vamos calcular as distâncias entre cada par de cargas.
Primeiro, convertendo as posições de centímetros para metros:
  • $ \vec{x}_{1} = (0.10, 0.10, 0.10) $ m
  • $ \vec{x}_{2} = (0, 0, 0) $ m
  • $ \vec{x}_{3} = (0, 0.10, 0.10) $ m
Agora, as distâncias:
  1. Entre $ q_{1} $ e $ q_{2} $:
x1 = (0.10, 0.10, 0.10)
  1. Entre $ q_{1} $ e $ q_{3} $:
x2 = (0, 0, 0)
  1. Entre $ q_{2} $ e $ q_{3} $:
x3 = (0, 0.10, 0.10)

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial para cada par de cargas usando a fórmula:
Uij = 14 pi varepsilon0 qi qjrij
Onde:
  • $ q_i $ e $ q_j $ estão em Coulombs. Então, vamos converter de microcoulombs para Coulombs:
    • $ q_{1} = 10 \times 10^{-6} , C $
    • $ q_{2} = -5 \times 10^{-6} , C $
    • $ q_{3} = 20 \times 10^{-6} , C $
Vamos calcular cada $ U_{ij} $:
  1. $ U_{12} $:
qi
  1. $ U_{13} $:
qj
  1. $ U_{23} $:
q1 = 10 times 10^-6 , C

Passo 5

Finalmente, somamos todas as energias potenciais para obter o trabalho total realizado pelo agente externo:
W = U12 + U13 + U23 approx -8.13 + 1.80 times 10^4 - 8.98 times 10^3 = 9.0259 , J

Resposta

O trabalho realizado pelo agente externo é aproximadamente $ 9.0259 , J $.

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