Dois capacitores cilíndricos A e B com comprimentos 10 cm possuem raios internos rA=rB= 5 mm e raios externos RA=2 rA e RB=5 rB respectivamente. Eles são conectados paralelamente a uma fonte de 50 V . (a) Encontre a carga em cada capacitor.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois capacitores cilíndricos, e , com comprimentos de 10 cm cada. Os raios internos de ambos são iguais a 5 mm, mas os raios externos são diferentes: e . Eles estão conectados em paralelo a uma fonte de 50 V. Nosso objetivo é encontrar a carga armazenada em cada capacitor. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da capacitância de um capacitor cilíndrico e a relação entre carga, capacitância e tensão.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as medidas para unidades do Sistema Internacional (SI). O comprimento cm = 0,10 m, e os raios internos mm = 0,005 m. Assim, os raios externos serão m = 0,010 m e m = 0,025 m.

Passo 3

A capacitância de um capacitor cilíndrico é dada pela fórmula:
C = 2piepsilon0 Lln(Rr)
onde:
  • (constante de permissividade do vácuo),
  • é o comprimento,
  • é o raio externo,
  • é o raio interno.

Passo 4

Vamos calcular a capacitância do capacitor CA = 2pi times 8,85 times 10^-12 times 0,10ln(0,0100,005) = 2pi times 8,85 times 10^-13ln(2) :
ln(2) approx 0,6931
Calculando o logaritmo:
CA approx 2 times 3,1416 times 8,85 times 10^-130,6931 approx 55,6 times 10^-130,6931 approx 8,02 times 10^-12 , F
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a capacitância do capacitor CB = 2pi times 8,85 times 10^-12 times 0,10ln(0,0250,005) = 2pi times 8,85 times 10^-13ln(5) :
ln(5) approx 1,6094
Calculando o logaritmo:
CB approx 2 times 3,1416 times 8,85 times 10^-131,6094 approx 55,6 times 10^-131,6094 approx 3,45 times 10^-12 , F
Então:

Passo 6

Como os capacitores estão conectados em paralelo, a tensão em ambos é a mesma, Q = C times V V. A carga armazenada em cada capacitor é dada por:
QA = 8,02 times 10^-12 times 50 approx 4,01 times 10^-10 , C
Então, para o capacitor QB = 3,45 times 10^-12 times 50 approx 1,73 times 10^-10 , C :
E para o capacitor :

Resposta

A carga no capacitor é aproximadamente C e no capacitor é aproximadamente C.

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