1. Um calorímetro de capacidade térmica \mathrm{C}=50 \mathrm{~J} /{ }^{\circ} \mathrm{C} contém 200 g de água a 25^{\circ} \mathrm{C}. Adicionam-se 100 g de gelo a -10^{\circ} \mathrm{C} e, em seguida, injeta-se vapor d’água a 120^{\circ} \mathrm{C} até que o sistema atinja o equilíbrio térmico a 40^{\circ} \mathrm{C}. Dados: calor específico da água \mathrm{c}_{\mathrm{a}}=4,2 \mathrm{~J} /\left(\mathrm{g} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), do gelo \mathrm{C}_{\mathrm{g}}=2,1 \mathrm{~J} /\left(\mathrm{g} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), do vapor \mathrm{C}_{\mathrm{v}}=2,0 \mathrm{~J} /\left(\mathrm{g} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right); calor latente de fusão do gelo \mathrm{L}_{\mathrm{f}}=334 \mathrm{~J} / \mathrm{g}; calor latente de vaporização da água \mathrm{L}_{\mathrm{v}}=2260 \mathrm{~J} / \mathrm{g}. Determine a massa de vapor injetada. Despreze perdas para o ambiente.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos.
  • Pedido: determinar a massa de vapor injetada até o equilíbrio térmico ser 40^\circ\mathrm{C}.
  • Dados fornecidos:
    • Capacidade térmica do calorímetro: C=50\\ \mathrm{J}/^{\circ}\mathrm{C}.
    • Massa de água inicial no calorímetro: m_{\mathrm{a}}=200\\ \mathrm{g} à temperatura 25^\circ\mathrm{C}.
    • Massa de gelo adicionada: m_{\mathrm{g}}=100\\ \mathrm{g} à temperatura -10^\circ\mathrm{C}.
    • Vapor injetado: massa m_{\mathrm{v}} (desconhecida) à temperatura 120^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de equilíbrio final: T_f=40^\circ\mathrm{C}.
  • Propriedades térmicas fornecidas:
    • Calor específico da água: c_{\mathrm{a}}=4{,}2\\ \mathrm{J}/(\mathrm{g}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
    • Calor específico do gelo: c_{\mathrm{g}}=2{,}1\\ \mathrm{J}/(\mathrm{g}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
    • Calor específico do vapor: c_{\mathrm{v}}=2{,}0\\ \mathrm{J}/(\mathrm{g}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}).
    • Calor latente de fusão do gelo: L_{\mathrm{f}}=334\\ \mathrm{J}/\mathrm{g}.
    • Calor latente de vaporização da água: L_{\mathrm{v}}=2260\\ \mathrm{J}/\mathrm{g}.
Observação importante: despreza-se perdas para o ambiente, portanto energia cedida pelo vapor = energia absorvida pelo calorímetro + pela água inicial + pelo gelo (aquecimento + fusão + aquecimento do líquido).

Passo 2

Princípio físico e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
  • Conservação de energia térmica (sistema isolado): a soma das trocas de calor é zero; em prática:
\text{soma do calor cedido pelo vapor} = \text{soma do calor absorvido por tudo o mais}.
  • Fórmulas básicas:
    • Calor sensível (aquecimento/ resfriamento): \;Q=m\,c\,\Delta T, onde
      • Q é a quantidade de calor (J),
      • m é a massa (g),
      • c é o calor específico ( \mathrm{J}/(\mathrm{g}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C})),
      • \Delta T=T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}} (em {}^{\circ}\mathrm{C}).
    • Calor latente (mudança de fase sem variação de temperatura): \;Q=m\,L, onde
      • L é o calor latente ( \mathrm{J}/\mathrm{g}).
  • Sinal: aqui vou calcular calor como valores positivos para módulos de energia trocada; a conservação será feita igualando o total cedido ao total absorvido.

Passo 3

Calor que cada porção fria absorve para chegar a 40^\circ\mathrm{C} — desenvolver passo a passo.
  1. Calor absorvido pelo calorímetro (capacidade térmica C):
Q_{\text{cal}} = C\,(T_f - T_{\text{cal,ini}}).
Como o calorímetro começa a 25^\circ\mathrm{C},
Q_{\text{cal}} = 50\cdot(40-25)=50\cdot15=750\\ \mathrm{J}.
  1. Calor absorvido pela água inicial ( m_{\mathrm{a}}=200\\ \mathrm{g}, 25^\circ\mathrm{C}\to40^\circ\mathrm{C}):
Q_{\mathrm{a}} = m_{\mathrm{a}}\,c_{\mathrm{a}}\,(T_f - 25).
Substituindo:
Q_{\mathrm{a}} = 200\cdot4{,}2\cdot(40-25)=200\cdot4{,}2\cdot15.
Calculemos:
4{,}2\cdot15=63\quad\Rightarrow\quad Q_{\mathrm{a}}=200\cdot63=12600\\ \mathrm{J}.
  1. Calor absorvido pelo gelo 100\\ \mathrm{g} que parte de -10^\circ\mathrm{C} até 40^\circ\mathrm{C}.
    Esse processo tem três etapas (cada uma com sua fórmula):
  • Aquecer o gelo de -10^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{1}=m_{\mathrm{g}}\,c_{\mathrm{g}}\,(0-(-10))=100\cdot2{,}1\cdot10=100\cdot21=2100\\ \mathrm{J}.
  • Fundir o gelo a 0^\circ\mathrm{C} (latente de fusão):
Q_{2}=m_{\mathrm{g}}\,L_{\mathrm{f}}=100\cdot334=33400\\ \mathrm{J}.
  • Aquecer a água resultante de 0^\circ\mathrm{C} até 40^\circ\mathrm{C}:
Q_{3}=m_{\mathrm{g}}\,c_{\mathrm{a}}\,(40-0)=100\cdot4{,}2\cdot40.
Calculemos:
4{,}2\cdot40=168\quad\Rightarrow\quad Q_{3}=100\cdot168=16800\\ \mathrm{J}.
Somando as três etapas para o gelo:
Q_{\mathrm{gelo}}=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}=2100+33400+16800=52300\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calor total absorvido pelo sistema frio (calorímetro + água inicial + gelo).
Some os resultados encontrados:
Q_{\text{absorvido}}=Q_{\text{cal}}+Q_{\mathrm{a}}+Q_{\mathrm{gelo}}=750+12600+52300.
Q_{\text{absorvido}}=65650\\ \mathrm{J}.
Interpretando: o vapor injetado precisa ceder exatamente essa energia de 65650\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calor cedido por cada grama de vapor injetado (detalhar todas as etapas do vapor).
Uma parcela de vapor à 120^\circ\mathrm{C} quando entra no sistema a menor temperatura vai:
  • primeiro resfriar de 120^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C} como vapor (sensible),
  • depois condensar a 100^\circ\mathrm{C} liberando calor latente L_{\mathrm{v}},
  • então a água condensada (agora líquida a 100^\circ\mathrm{C}) resfriar de 100^\circ\mathrm{C} até 40^\circ\mathrm{C}.
Portanto o calor cedido por 1\\ \mathrm{g} de vapor é:
q_{\text{por g}} = c_{\mathrm{v}}\,(120-100) + L_{\mathrm{v}} + c_{\mathrm{a}}\,(100-40).
Agora substitui os valores numéricos:
c_{\mathrm{v}}\,(120-100)=2{,}0\cdot20=40\\ \mathrm{J/g},
L_{\mathrm{v}}=2260\\ \mathrm{J/g},
c_{\mathrm{a}}\,(100-40)=4{,}2\cdot60=252\\ \mathrm{J/g}.
Somando:
q_{\text{por g}}=40+2260+252=2552\\ \mathrm{J/g}.
Explicação rápida: esse é o “pacote energético” que cada grama de vapor entrega ao se tornar água líquida a 40^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Equação de balanço de energia e resolução para a massa de vapor.
Igualando energia cedida pelo vapor ao total absorvido:
m_{\mathrm{v}}\cdot q_{\text{por g}} = Q_{\text{absorvido}}.
Logo:
m_{\mathrm{v}} = \frac{Q_{\text{absorvido}}}{q_{\text{por g}}} = \frac{65650}{2552}.
Efetuando a divisão:
m_{\mathrm{v}}\approx25{,}725\\ \mathrm{g}.
Arredondando com sentido prático (dados originais têm pelo menos duas ou três cifras), pode-se apresentar como 25{,}7\\ \mathrm{g} ou 25{,}73\\ \mathrm{g}. Vou dar a resposta com três algarismos significativos.

Resposta

m_{\mathrm{v}}=25{,}7\\ \mathrm{g}

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