1. Um recipiente de vidro (coeficiente de dilatação volumétrica \gamma_{v}=1,2 \times 10-5^{\circ} \mathrm{C}-1 está completamente cheio com 500,0 \mathrm{~cm}^{3} de um líquido a 20^{\circ} \mathrm{C}. O conjunto é aquecido até 80^{\circ} \mathrm{C}, e observa-se que 2,5 \mathrm{~cm}^{3} do líquido transbordam.
    Desprezando a evaporação:
    a) Determine o coeficiente de dilatação real do líquido.
    b) Calcule a capacidade térmica do líquido, sabendo que sua densidade a 20^{\circ} \mathrm{C} é 0,85 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e seu calor específico é 2,4 \mathrm{~J} /\left(\mathrm{g} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Coeficiente de dilatação volumétrica do vidro: \gamma_{v}=1,2\times10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Volume inicial do líquido no recipiente à 20^\circ\mathrm{C}: V_{0}=500{,}0\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Ao aquecer até 80^\circ\mathrm{C} observa-se um transbordamento de 2{,}5\\ \mathrm{cm}^{3}. Ou seja, volume transbordado \Delta V_{\mathrm{trans}}=2{,}5\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Temperaturas inicial e final: T_i=20^\circ\mathrm{C}, T_f=80^\circ\mathrm{C}. Logo \Delta T=T_f-T_i=60^\circ\mathrm{C}.
  • Densidade do líquido a 20^\circ\mathrm{C}: \rho=0{,}85\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}.
  • Calor específico do líquido: c=2{,}4\\ \mathrm{J}/(\mathrm{g}\cdot^\circ\mathrm{C}).
O enunciado pede:
(a) Determinar o coeficiente de dilatação volumétrica real do líquido (vou chamar de \beta).
(b) Calcular a capacidade térmica do líquido (isto é, a capacidade térmica total C=m\,c, em \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Entendendo o modelo físico e as fórmulas que vamos usar (aulas rapidinhas na mesma hora):
  • Para pequenas variações de temperatura, o aumento de volume de um corpo homogêneo é dado por:
\Delta V = \beta\,V_{0}\,\Delta T,
onde \Delta V é a variação de volume, V_{0} o volume inicial (na temperatura de referência), \Delta T a variação de temperatura e \beta o coeficiente volumétrico do material. Aqui \beta será usado para o líquido e \gamma_{v} para o vidro do recipiente.
  • O líquido aumenta de volume em \Delta V_{\text{liq}}=\beta\,V_{0}\,\Delta T.
  • O recipiente (vidro) também aumenta seu volume útil em \Delta V_{\text{rec}}=\gamma_{v}\,V_{0}\,\Delta T — note que usamos o mesmo V_{0} porque o recipiente estava exatamente cheio inicialmente.
  • Como o conjunto estava completamente cheio, o líquido só transborda a parte do aumento do líquido que ultrapassa a expansão do recipiente. Portanto:
\Delta V_{\mathrm{trans}}=\Delta V_{\text{liq}}-\Delta V_{\text{rec}}=(\beta-\gamma_{v})\,V_{0}\,\Delta T.
  • Isolando \beta:
\beta=\gamma_{v}+\frac{\Delta V_{\mathrm{trans}}}{V_{0}\,\Delta T}.
Expliquei o porquê dessa fórmula: o recipiente “cresce” e aceita parte da expansão do líquido; o que sai é só a diferença.

Passo 3

Agora calculo \beta plugando os números (faço passo a passo para você conseguir refazer na prova sem calculadora):
  • Primeiro a razão da parte que transbordou:
\frac{\Delta V_{\mathrm{trans}}}{V_{0}\,\Delta T} = \frac{2{,}5}{500{,}0\cdot 60}.
Calculemos o denominador: 500{,}0\cdot60=30000. Então
\frac{2{,}5}{30000}=\frac{25}{300000}= \frac{1}{12000}=0{,}000083333\ldots
Em notação científica isso é aproximadamente 8{,}3333\times10^{-5}.
  • Agora somamos com \gamma_{v}=1{,}2\times10^{-5}:
\beta=1{,}2\times10^{-5}+8{,}3333\times10^{-5}=9{,}5333\times10^{-5}\\ \,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Arredondando com sentido prático (três algarismos significativos) fica
\beta\approx 9{,}53\times10^{-5}\\ \,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Interpretação curta: o líquido dilata bem mais que o vidro, por isso transborda.

Passo 4

Agora a capacidade térmica do líquido. Primeiro calculo a massa do líquido usando a densidade:
m=\rho\,V_{0}=0{,}85\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^{3}}\times500{,}0\\ \mathrm{cm}^{3}=425{,}0\\ \mathrm{g}.
Explico: massa = densidade × volume; as unidades \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3 e \mathrm{cm}^3 dão gramas.

Passo 5

A capacidade térmica total C do líquido (quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de todo o líquido em 1^\circ\mathrm{C}) é
C=m\,c.
Substituindo os números:
C=425{,}0\\ \mathrm{g}\times 2{,}4\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{g}\cdot^\circ\mathrm{C}}=1020\\ \frac{\mathrm{J}}{^\circ\mathrm{C}}.
Explicando: isso significa que são necessários 1020\\ \mathrm{J} para aquecer todo o líquido em 1^\circ\mathrm{C}.

Resposta

\beta \approx 9{,}53\times10^{-5}\\ \,^\circ\mathrm{C}^{-1}
C = 1020\\ \mathrm{J}/^\circ\mathrm{C}

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