Uma barra cilindrica fina, com comprimento
e massa
, tem uma bola de diâmetro
e massa
presa a uma extremidade.
arranjo e originalmente vertical e estacionário, com a bola no topo, como mostrado dia Figura. A combinaçäo é livre emil relaçào ao pivõ̃ na extromidade da base da barra após receber um leve toque.
(a) Depois que a combinaçào gira por 90 graus, qual é sua energia cinética rotacional?
(a) Depois que a combinaçào gira por 90 graus, qual é sua energia cinética rotacional?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de dinâmica rotacional. Temos uma barra cilíndrica fina de 24 cm de comprimento e 1,20 kg de massa, com uma bola de 8 cm de diâmetro e 2,00 kg de massa presa na extremidade. Ela está pivotada na base e recebe um leve empurrão, girando 90 graus. Precisamos descobrir qual é a energia cinética rotacional dessa combinação após esse giro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é energia cinética rotacional. É a energia que um objeto tem por estar girando. A fórmula para calcular essa energia é:
Onde:
-
é o momento de inércia do objeto. -
é a velocidade angular.
Passo 3
Vamos calcular o momento de inércia total da combinação barra-bola. Como temos dois corpos (a barra e a bola), o momento de inércia total é a soma dos momentos de inércia individuais.
Primeiro, para a barra cilíndrica fina pivotada em uma extremidade, o momento de inércia é:
Onde:
-
-
(convertido de 24 cm para metros)
Calculando:
Passo 4
Agora, para a bola de massa
presa na extremidade da barra, o momento de inércia é:
Aqui,
, pois a bola está na extremidade da barra.
Calculando:
Passo 5
Somando os momentos de inércia:
Substituindo os valores calculados:
Passo 6
Agora que temos o momento de inércia total, precisamos encontrar a velocidade angular
após o giro de 90 graus. Para isso, podemos usar o Princípio da Conservação da Energia.
Inicialmente, a energia do sistema está só na energia potencial gravitacional. Quando gira 90 graus, parte dessa energia se transforma em energia cinética rotacional.
A energia potencial inicial é dada por:
Onde
é a altura que a massa efetiva sobe,
.
Após o giro de 90 graus, essa energia potencial se transforma em energia cinética:
Então:
Passo 7
Vamos calcular
. Quando gira 90 graus, a barra e a bola descem até a horizontal, então a altura que cada uma sobe é igual a:
- Para a barra:
(centro de massa) - Para a bola:
Então, a altura total:
Substituindo:
Passo 8
Resolvendo para
:
Agora, com
calculado, podemos encontrar a energia cinética rotacional:
Resposta
Após os cálculos, a energia cinética rotacional da combinação barra-bola após girar 90 graus é de aproximadamente 0,86 J.