Uma barra cilindrica fina, com comprimento l=24,0 cm e massa m=1,20 kg, tem uma bola de diâmetro d=8,00 cm e massa M=2,00 kg presa a uma extremidade. O arranjo e originalmente vertical e estacionário, com a bola no topo, como mostrado dia Figura. A combinaçäo é livre emil relaçào ao pivõ̃ na extromidade da base da barra após receber um leve toque.
(a) Depois que a combinaçào gira por 90 graus, qual é sua energia cinética rotacional?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de dinâmica rotacional. Temos uma barra cilíndrica fina de 24 cm de comprimento e 1,20 kg de massa, com uma bola de 8 cm de diâmetro e 2,00 kg de massa presa na extremidade. Ela está pivotada na base e recebe um leve empurrão, girando 90 graus. Precisamos descobrir qual é a energia cinética rotacional dessa combinação após esse giro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é energia cinética rotacional. É a energia que um objeto tem por estar girando. A fórmula para calcular essa energia é:
Ecinética = 12 I omega^2 é
Onde:
  • é o momento de inércia do objeto.
  • é a velocidade angular.

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia total da combinação barra-bola. Como temos dois corpos (a barra e a bola), o momento de inércia total é a soma dos momentos de inércia individuais.
Primeiro, para a barra cilíndrica fina pivotada em uma extremidade, o momento de inércia é:
Ibarra = 13 m l^2
Onde:
  • Ibarra = 13 times 1,20 times (0,24)^2
  • (convertido de 24 cm para metros)
Calculando:

Passo 4

Agora, para a bola de massa Ibola = M r^2 presa na extremidade da barra, o momento de inércia é:
Ibola = 2,00 times (0,24)^2
Aqui, , pois a bola está na extremidade da barra.
Calculando:

Passo 5

Somando os momentos de inércia:
Itotal = Ibarra + Ibola
Substituindo os valores calculados:
Itotal = 13 times 1,20 times (0,24)^2 + 2,00 times (0,24)^2

Passo 6

Agora que temos o momento de inércia total, precisamos encontrar a velocidade angular Epotencial = (mbarra + mbola) g h após o giro de 90 graus. Para isso, podemos usar o Princípio da Conservação da Energia.
Inicialmente, a energia do sistema está só na energia potencial gravitacional. Quando gira 90 graus, parte dessa energia se transforma em energia cinética rotacional.
A energia potencial inicial é dada por:
Epotencial inicial = Ecinética rotacional
Onde (mbarra + mbola) g h = 12 Itotal omega^2 é a altura que a massa efetiva sobe, .
Após o giro de 90 graus, essa energia potencial se transforma em energia cinética:
é
Então:

Passo 7

Vamos calcular h = l2 + l = 3l2 . Quando gira 90 graus, a barra e a bola descem até a horizontal, então a altura que cada uma sobe é igual a:
  • Para a barra: (1,20 + 2,00) times 9,81 times 3 times 0,242 = 12 Itotal omega^2 (centro de massa)
  • Para a bola:
Então, a altura total:
Substituindo:

Passo 8

Resolvendo para omega = raiz2 (mbarra + mbola) g hItotal :
Ecinética = 12 Itotal omega^2
Agora, com calculado, podemos encontrar a energia cinética rotacional:
é

Resposta

Após os cálculos, a energia cinética rotacional da combinação barra-bola após girar 90 graus é de aproximadamente 0,86 J.

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