Primeira Prova de Mecânica II

Professor Márcio Capri

2. Movimento em Um Plano Sob Força Central

Considere uma partícula de massa m que se move em um plano sob a ação de uma força central F=-hr^2 r, onde h é uma constante positiva, r=|r| a coordenada radial e r=r|r mid| a direção radial. Nesse caso, sabe-se que tanto a energia E quanto o momento angular L=r times p são conservados.
(d) (0,5 ponto) Qual é o movimento da partícula neste caso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula de massa $ m $ que se movimenta num plano sob a ação de uma força central dada por $ F = -\frac{h}{r^{2}} \hat{r} $. O que isso significa é que a força atua sempre na direção radial, ou seja, em direção ou para longe do ponto central, e sua intensidade depende do inverso do quadrado da distância $ r $ até o centro. Sabemos também que a energia $ E $ e o momento angular $ \vec{L} $ são conservados nesse sistema. Para resolver, vamos precisar dos conceitos de forças centrais, conservação de momento angular e tipos de movimentos resultantes dessas condições.

Passo 2

Primeiro, como a força é central ($ \vec{F} $ é paralela a $ \vec{r} $), o movimento da partícula fica restrito a um plano. Isso significa que a partícula não sai desse plano enquanto se move.

Passo 3

Como o momento angular $ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} $ é conservado, isso implica que a partícula não muda seu momento angular ao longo do tempo. Consequentemente, a velocidade angular da partícula mantém-se constante, o que influencia diretamente na trajetória que a partícula seguirá.

Passo 4

A força central $ F = -\frac{h}{r^{2}} \hat{r} $ nos lembra a forma da força gravitacional ou eletrostática, que também dependem do inverso do quadrado da distância. Nessas situações, o movimento resultante da partícula é uma das cônicas: círculo, elipse, parábola ou hipérbole, dependendo da energia total do sistema.

Passo 5

Como a energia $ E $ é conservada, podemos determinar o tipo de trajetória que a partícula seguirá:
  • Se $ E < 0 $, a trajetória é uma elipse.
  • Se $ E = 0 $, a trajetória é uma parábola.
  • Se $ E > 0 $, a trajetória é uma hipérbole.
  • Se houver uma condição especial, onde a partícula se move com energia suficiente para permanecer a uma distância constante, a trajetória pode ser um círculo.

Resposta

Então, resumindo tudo, o movimento da partícula sob a força central $ F = -\frac{h}{r^{2}} \hat{r} $ é uma das curvas cônicas (elipse, parábola ou hipérbole), dependendo do valor da energia total $ E $. Isso significa que a partícula pode seguir uma órbita elíptica, escapar em uma trajetória parabólica ou hiperbólica, ou até mesmo permanecer em um círculo se as condições forem específicas.

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