Primeira Prova de Mecânica II
Professor Márcio Capri
4. Oscilador Amortecido
Um oscilador amortecido consiste em um bloco de massa
, uma mola de constante elástica
e uma força de amortecimento - biu. Inicialmente, ele oscila com uma amplitude
; devido ao amortecimento, a amplitude é reduzida para
de seu valor inicial, quando são completadas quatro oscilações.
(b) ( 0,5 ponto) Qual o percentual de energia perdido depois das quatro oscilações?
(b) ( 0,5 ponto) Qual o percentual de energia perdido depois das quatro oscilações?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um oscilador amortecido, que é basicamente um sistema que oscila (como um bloco preso a uma mola) e, ao mesmo tempo, perde energia devido a uma força de amortecimento. Aqui, temos um bloco de massa $ m $, uma mola com constante elástica $ k $ e uma força de amortecimento proporcional à velocidade, representada por
. A questão nos diz que a amplitude das oscilações diminui para $ \frac{3}{4} $ da amplitude inicial $ A_0 $ após quatro oscilações. Precisamos descobrir qual foi o percentual de energia perdido nesse processo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total de um oscilador (seja amortecido ou não) está relacionada à amplitude das oscilações. Mais especificamente, a energia $ E $ é proporcional ao quadrado da amplitude $ A $:
Isso significa que se a amplitude muda, a energia muda de acordo com o quadrado dessa mudança.
Passo 3
Vamos calcular a energia inicial do sistema usando a amplitude inicial $ A_0 $:
Aqui, $ E_0 $ representa a energia inicial quando a amplitude é $ A_0 $.
Passo 4
Após quatro oscilações, a amplitude passa a ser $ \frac{3}{4} $ da amplitude inicial. Então, a energia final $ E_f $ será:
Simplificando isso:
Passo 5
Agora, para encontrar a energia perdida $ \Delta E $, subtraímos a energia final da energia inicial:
Substituindo $ E_f $:
Passo 6
Por fim, para encontrar o percentual de energia perdido, dividimos a energia perdida pela energia inicial e multiplicamos por 100%:
Substituindo $ \Delta E $:
Resposta
O percentual de energia perdido depois das quatro oscilações é 43,75%.