Primeira Prova de Mecânica II

Professor Márcio Capri

4. Oscilador Amortecido

Um oscilador amortecido consiste em um bloco de massa m, uma mola de constante elástica k e uma força de amortecimento - biu. Inicialmente, ele oscila com uma amplitude A0; devido ao amortecimento, a amplitude é reduzida para 34 de seu valor inicial, quando são completadas quatro oscilações.
(b) ( 0,5 ponto) Qual o percentual de energia perdido depois das quatro oscilações?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um oscilador amortecido, que é basicamente um sistema que oscila (como um bloco preso a uma mola) e, ao mesmo tempo, perde energia devido a uma força de amortecimento. Aqui, temos um bloco de massa $ m $, uma mola com constante elástica $ k $ e uma força de amortecimento proporcional à velocidade, representada por m . A questão nos diz que a amplitude das oscilações diminui para $ \frac{3}{4} $ da amplitude inicial $ A_0 $ após quatro oscilações. Precisamos descobrir qual foi o percentual de energia perdido nesse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total de um oscilador (seja amortecido ou não) está relacionada à amplitude das oscilações. Mais especificamente, a energia $ E $ é proporcional ao quadrado da amplitude $ A $:
E
Isso significa que se a amplitude muda, a energia muda de acordo com o quadrado dessa mudança.

Passo 3

Vamos calcular a energia inicial do sistema usando a amplitude inicial $ A_0 $:
A0
Aqui, $ E_0 $ representa a energia inicial quando a amplitude é $ A_0 $.

Passo 4

Após quatro oscilações, a amplitude passa a ser $ \frac{3}{4} $ da amplitude inicial. Então, a energia final $ E_f $ será:
34
Simplificando isso:
Ef
Ef = k cdot ( 34 A0 )^2

Passo 5

Agora, para encontrar a energia perdida $ \Delta E $, subtraímos a energia final da energia inicial:
De
Substituindo $ E_f $:
De

Passo 6

Por fim, para encontrar o percentual de energia perdido, dividimos a energia perdida pela energia inicial e multiplicamos por 100%:
% de energia perdido = ( De
Substituindo $ \Delta E $:
De

Resposta

O percentual de energia perdido depois das quatro oscilações é 43,75%.

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