A velocidade de um carrinho de brinquedo é dado por
, sendo
medido em centímetros e
medido em segundos. Sabe-se que o carrinho se apresenta na origem dos espaços quando
. Determine (a) a equação de movimento (das posições) do carrinho;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a velocidade de um carrinho de brinquedo em função do tempo: $ v = 2 t(3 t - t^{2}) $, onde $ x $ está em centímetros e $ t $ em segundos. A gente sabe também que o carrinho está na origem ($ x = 0 $) quando $ t = 0 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação de movimento, ou seja, a posição do carrinho em função do tempo $ x(t) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente a relação entre velocidade e posição. Vamos integrar a função de velocidade para encontrar a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a posição $ x(t) $ é a integral da velocidade $ v(t) $ em relação ao tempo. Isso significa que para encontrar $ x(t) $, precisamos calcular:
Passo 3
Vamos substituir a expressão da velocidade que nos foi dada:
Antes de integrar, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, agora a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo:
Assim, juntando os resultados:
Passo 5
Agora precisamos determinar a constante de integração $ C $. Sabemos que quando $ t = 0 $, o carrinho está na origem, ou seja, $ x(0) = 0 $.
Substituindo na equação:
Resposta
Portanto, a equação de movimento do carrinho é: