A velocidade de um carrinho de brinquedo é dado por v=2 t(3 t-t^2), sendo x medido em centímetros e t medido em segundos. Sabe-se que o carrinho se apresenta na origem dos espaços quando t=0. Determine (a) a equação de movimento (das posições) do carrinho;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a velocidade de um carrinho de brinquedo em função do tempo: $ v = 2 t(3 t - t^{2}) $, onde $ x $ está em centímetros e $ t $ em segundos. A gente sabe também que o carrinho está na origem ($ x = 0 $) quando $ t = 0 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação de movimento, ou seja, a posição do carrinho em função do tempo $ x(t) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente a relação entre velocidade e posição. Vamos integrar a função de velocidade para encontrar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a posição $ x(t) $ é a integral da velocidade $ v(t) $ em relação ao tempo. Isso significa que para encontrar $ x(t) $, precisamos calcular:
x(t)

Passo 3

Vamos substituir a expressão da velocidade que nos foi dada:
x(t) = integral 2 t(3 t - t^2) , dt
Antes de integrar, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
2 t(3 t - t^2) = 6 t^2 - 2 t^3
Então, agora a integral fica:
x(t) = integral (6 t^2 - 2 t^3) , dt

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 6 t^2 , dt = 6 cdot t^33 = 2 t^3
integral -2 t^3 , dt = -2 cdot t^44 = -12 t^4
Assim, juntando os resultados:
x(t) = 2 t^3 - 12 t^4 + C

Passo 5

Agora precisamos determinar a constante de integração $ C $. Sabemos que quando $ t = 0 $, o carrinho está na origem, ou seja, $ x(0) = 0 $.
Substituindo na equação:
C

Resposta

Portanto, a equação de movimento do carrinho é:
x(t) = 2 t^3 - 12 t^4

Exercícios relacionados