Uma barra de cobre de massa 200 g é retirada do interior de um forno, onde estava em equilíbrio térmico, e é colocada dentro de um recipiente de capacidade térmica 46 \mathrm{cal} /{ }^{\circ} \mathrm{C} que contém 200 g de água a 20^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura final de equilíbrio é de 25^{\circ} \mathrm{C}. Determine a temperatura aproximada do forno, em { }^{\circ} \mathrm{C}.
Dado: \mathrm{C}_{\mathrm{Cu}}=0,03 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma coisa:
  • Massa da barra de cobre: m_{\mathrm{Cu}}=200\\ \mathrm{g}.
  • A barra estava em equilíbrio térmico dentro do forno (temperatura inicial do cobre é desconhecida, chamar de T_{\text{forno}}).
  • A barra é colocada em um recipiente (calorímetro) com capacidade térmica C_{\mathrm{cal}}=46\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}.
  • O recipiente contém água em massa m_{\mathrm{w}}=200\\ \mathrm{g} à temperatura inicial T_{\mathrm{w,i}}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final de equilíbrio do sistema: T_{\mathrm{f}}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico do cobre dado: c_{\mathrm{Cu}}=0{,}03\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}.
  • (Valor usual que vamos usar) Calor específico da água: c_{\mathrm{w}}=1{,}0\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a temperatura aproximada do forno, ou seja T_{\text{forno}}, em ^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar (explicadinho como se estivéssemos juntos na prova):
  • Conservação da energia térmica (quando negligenciamos perdas para o ambiente): o calor perdido pelo corpo mais quente é igual ao calor ganho pelos corpos mais frios até atingirem a temperatura de equilíbrio.
  • Fórmula do calor trocado por um corpo que muda de temperatura: Q = m\,c\,\Delta T,onde:
    • Q é a quantidade de calor (em calorias, aqui),
    • m é a massa do corpo (em gramas),
    • c é o calor específico (em \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}),
    • \Delta T é a variação de temperatura \Delta T = T_{\text{final}} - T_{\text{inicial}} (em ^\circ\mathrm{C}).
  • Para o calorímetro (recipiente) foi dada a capacidade térmica C_{\mathrm{cal}} em \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}. Isso significa que, se sua temperatura subir \Delta T, ele recebe calor Q_{\mathrm{cal}} = C_{\mathrm{cal}}\,\Delta T.Atenção: aqui não multiplicamos por massa porque C_{\mathrm{cal}} já é a capacidade térmica total (energia por grau).
No nosso problema:
  • O cobre esfria de T_{\text{forno}} até T_{\mathrm{f}}=25^\circ\mathrm{C} (perde calor).
  • A água e o calorímetro aquecem de T_{\mathrm{w,i}}=20^\circ\mathrm{C} até T_{\mathrm{f}}=25^\circ\mathrm{C} (ganham calor).

Passo 3

Escrevendo a equação de conservação de energia (calor perdido = calor ganho):
Q_{\mathrm{Cu}} = Q_{\mathrm{w}} + Q_{\mathrm{cal}}.
Agora expressar cada termo com as fórmulas:
Q_{\mathrm{Cu}} = m_{\mathrm{Cu}}\,c_{\mathrm{Cu}}\,(T_{\text{forno}}-T_{\mathrm{f}}),
Q_{\mathrm{w}} = m_{\mathrm{w}}\,c_{\mathrm{w}}\,(T_{\mathrm{f}}-T_{\mathrm{w,i}}),
Q_{\mathrm{cal}} = C_{\mathrm{cal}}\,(T_{\mathrm{f}}-T_{\mathrm{w,i}}).
Note que os sinais estão consistentes: o cobre tem (T_{\text{forno}}-T_{\mathrm{f}}) positivo se T_{\text{forno}}>T_{\mathrm{f}}, e água/calorímetro usam (T_{\mathrm{f}}-T_{\mathrm{w,i}}) positivo.
Isolando T_{\text{forno}} da equação:
T_{\text{forno}} = T_{\mathrm{f}} + \frac{m_{\mathrm{w}}\,c_{\mathrm{w}}\,(T_{\mathrm{f}}-T_{\mathrm{w,i}}) + C_{\mathrm{cal}}\,(T_{\mathrm{f}}-T_{\mathrm{w,i}})}{m_{\mathrm{Cu}}\,c_{\mathrm{Cu}}}.
Isso já é uma fórmula pronta para usar — na prova basta substituir os números.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos passo a passo:
Primeiro calcular a variação de temperatura da água (e do calorímetro):
T_{\mathrm{f}}-T_{\mathrm{w,i}} = 25^\circ\mathrm{C} - 20^\circ\mathrm{C} = 5^\circ\mathrm{C}.
Calor ganho pela água:
Q_{\mathrm{w}} = m_{\mathrm{w}}\,c_{\mathrm{w}}\,(T_{\mathrm{f}}-T_{\mathrm{w,i}}) = 200\\ \mathrm{g}\times 1{,}0\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}}\times 5^\circ\mathrm{C} = 1000\\ \mathrm{cal}.
Calor ganho pelo calorímetro:
Q_{\mathrm{cal}} = C_{\mathrm{cal}}\,(T_{\mathrm{f}}-T_{\mathrm{w,i}}) = 46\\ \frac{\mathrm{cal}}{^\circ\mathrm{C}}\times 5^\circ\mathrm{C} = 230\\ \mathrm{cal}.
Somando os calores ganhos:
Q_{\mathrm{w}}+Q_{\mathrm{cal}} = 1000\\ \mathrm{cal} + 230\\ \mathrm{cal} = 1230\\ \mathrm{cal}.
Agora o denominador (capacidade térmica do cobre total):
m_{\mathrm{Cu}}\,c_{\mathrm{Cu}} = 200\\ \mathrm{g}\times 0{,}03\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}^\circ\mathrm{C}} = 6\\ \frac{\mathrm{cal}}{^\circ\mathrm{C}}.
Variação de temperatura que o cobre precisa perder:
\Delta T_{\mathrm{Cu}} = \frac{Q_{\mathrm{w}}+Q_{\mathrm{cal}}}{m_{\mathrm{Cu}}\,c_{\mathrm{Cu}}} = \frac{1230\\ \mathrm{cal}}{6\\ \mathrm{cal}/^\circ\mathrm{C}} = 205^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Temperatura inicial do cobre (temperatura do forno):
T_{\text{forno}} = T_{\mathrm{f}} + \Delta T_{\mathrm{Cu}} = 25^\circ\mathrm{C} + 205^\circ\mathrm{C} = 230^\circ\mathrm{C}.
Comentário final curto e amigo: deu aproximadamente 230^\circ\mathrm{C}. Assumi que não houve perdas de calor para o ambiente e que a capacidade térmica dada já inclui o recipiente — coisas que normalmente estão implícitas nesse tipo de questão. Você consegue repetir esse raciocínio rápido na prova: escrever a conservação, montar m c \Delta T para cada parte, isolar a temperatura desconhecida e substituir os números.

Resposta

230^\circ\mathrm{C}

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