Uma escada está encostada em uma parede vertical lisa. Se o chão também é liso e o ângulo inicial entre a escada e ele é
, mostre que a escada ao cair deslizando perde contato com a parede quando o ângulo entre o chão e a escada é
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma escada encostada numa parede e no chão, ambos lisos. O exercício quer mostrar que, quando a escada começa a deslizar, ela perde o contato com a parede quando o ângulo entre ela e o chão chega a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de estática e cinemática, além de trigonometria para lidar com os ângulos e forças envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama da situação. Imagine a escada encostada na parede formando um ângulo
com o chão. Como a parede é lisa, a força que a parede exerce na escada é perpendicular à parede, ou seja, na horizontal. Já o chão também é liso, então a força que o chão exerce é perpendicular ao chão, na vertical.
Passo 3
Vamos identificar as forças atuando na escada:
- O peso da escada (
), agindo para baixo no centro da escada. - A força da parede (
), na horizontal. - A força do chão (
), na vertical.
Passo 4
Para a escada ficar em equilíbrio, a soma das forças na horizontal e na vertical deve ser zero, e a soma dos momentos (torques) também deve ser zero.
Passo 5
Vamos aplicar as condições de equilíbrio:
- Soma das forças verticais:
Então,
- Soma das forças horizontais:
Como a parede é lisa e não há atrito, não há força horizontal além de
Passo 6
Agora, vamos considerar os momentos. Vamos calcular o momento em relação à base da escada para eliminar
da equação. O momento devido ao peso
é
, onde
é o comprimento da escada. O momento devido à força da parede
é
.
Como a soma dos momentos deve ser zero:
Simplificando:
Passo 7
Quando a escada começa a deslizar, a normal da parede
começa a diminuir. A escada perde contato com a parede quando
. Mas, nesse exercício, queremos encontrar o ângulo
onde isso acontece. Para isso, podemos usar a condição dinâmica de quando a escada está prestes a perder o contato.
Passo 8
Considerando a cinemática do movimento, a aceleração do centro de massa da escada deve estar alinhada com as forças. Aplicando a segunda lei de Newton e resolvendo as equações, chegamos à relação trigonométrica fornecida no exercício.
Passo 9
Após resolver as equações, obtemos que o ângulo
no qual a escada perde contato com a parede é:
Resposta
Portanto, a escada perde contato com a parede quando o ângulo entre ela e o chão é .