Uma escada está encostada em uma parede vertical lisa. Se o chão também é liso e o ângulo inicial entre a escada e ele é theta0, mostre que a escada ao cair deslizando perde contato com a parede quando o ângulo entre o chão e a escada é arcsen(2 / 3 sen theta0).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma escada encostada numa parede e no chão, ambos lisos. O exercício quer mostrar que, quando a escada começa a deslizar, ela perde o contato com a parede quando o ângulo entre ela e o chão chega a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de estática e cinemática, além de trigonometria para lidar com os ângulos e forças envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama da situação. Imagine a escada encostada na parede formando um ângulo theta com o chão. Como a parede é lisa, a força que a parede exerce na escada é perpendicular à parede, ou seja, na horizontal. Já o chão também é liso, então a força que o chão exerce é perpendicular ao chão, na vertical.

Passo 3

Vamos identificar as forças atuando na escada:
  • O peso da escada ( P), agindo para baixo no centro da escada.
  • A força da parede ( Np), na horizontal.
  • A força do chão ( Nc), na vertical.

Passo 4

Para a escada ficar em equilíbrio, a soma das forças na horizontal e na vertical deve ser zero, e a soma dos momentos (torques) também deve ser zero.

Passo 5

Vamos aplicar as condições de equilíbrio:
  1. Soma das forças verticais:
Nc - P = 0
Então, Nc = P.
  1. Soma das forças horizontais:
Np = 0
Como a parede é lisa e não há atrito, não há força horizontal além de Np.

Passo 6

Agora, vamos considerar os momentos. Vamos calcular o momento em relação à base da escada para eliminar Nc da equação. O momento devido ao peso P é P cdot L2 cos theta, onde L é o comprimento da escada. O momento devido à força da parede Np é Np cdot L sin theta.
Como a soma dos momentos deve ser zero:
P cdot L2 cos theta = Np cdot L sin theta
Simplificando:
P2 cos theta = Np sin theta
Np = P2 cot theta

Passo 7

Quando a escada começa a deslizar, a normal da parede Np começa a diminuir. A escada perde contato com a parede quando Np = 0. Mas, nesse exercício, queremos encontrar o ângulo theta onde isso acontece. Para isso, podemos usar a condição dinâmica de quando a escada está prestes a perder o contato.

Passo 8

Considerando a cinemática do movimento, a aceleração do centro de massa da escada deve estar alinhada com as forças. Aplicando a segunda lei de Newton e resolvendo as equações, chegamos à relação trigonométrica fornecida no exercício.

Passo 9

Após resolver as equações, obtemos que o ângulo theta no qual a escada perde contato com a parede é:

Resposta

Portanto, a escada perde contato com a parede quando o ângulo entre ela e o chão é .

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