Um jogador bate uma bola de beisebol de forma que ela abandona o bastão com uma velocidade inicial
. Sabe-se que a bola demora
para atingir a altura máxima e alcança uma distância máxima na horizontal igual a 140 m . Despreze a resistência do ar e considere
. Determine:
a) o módulo da velocidade inicial
ângulo que esta forma com a horizontal (
). (
- ângulo
)
b) o módulo, a direção e o sentido da velocidade após
de movimento. (
- ângulo
)
a) o módulo da velocidade inicial
b) o módulo, a direção e o sentido da velocidade após
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- Tempo para atingir a altura máxima:
. - Alcance horizontal (distância total percorrida na horizontal):
. - Aceleração da gravidade:
. - Despreza-se resistência do ar.
- Tempo para atingir a altura máxima:
-
O que o enunciado pede:
- (a) Determinar o módulo da velocidade inicial
e o ângulo que ela forma com a horizontal. - (b) Determinar, após
desde o lançamento, o módulo, a direção (ângulo em relação à horizontal) e o sentido da velocidade.
- (a) Determinar o módulo da velocidade inicial
Passo 2
Entender a decomposição do movimento e as fórmulas básicas (aulas rápidas).
-
Em lançamento oblíquo sem resistência do ar se decompõe a velocidade inicial
em duas componentes: - componente horizontal:
(constante durante o movimento); - componente vertical:
(varia com tempo devido à aceleração gravitacional).
- componente horizontal:
-
Fórmulas importantes:
- Para a componente vertical da velocidade em instante
: onde é a componente vertical inicial, é a aceleração da gravidade e o tempo. - O tempo para atingir a altura máxima (
) ocorre quando . Assim: - O alcance horizontal
(considerando que o ponto de aterrissagem tem mesma altura do lançamento) é: onde é o tempo total de voo. Para trajetória simétrica . - A magnitude da velocidade inicial relaciona-se com as componentes por:
- O ângulo
entre e a horizontal é
- Para a componente vertical da velocidade em instante
Explicação das variáveis:
é a velocidade horizontal inicial (módulo),
é a velocidade vertical inicial (módulo, positiva para cima),
é a aceleração da gravidade (positiva em módulo; no eixo vertical usaremos subtração ao subir),
é tempo em segundos,
é alcance em metros.
Passo 3
Calcular
usando o tempo até o ponto mais alto.
- Usando
e tomando e : - Interpretação: a componente vertical inicial precisa ser
para que a velocidade vertical anule após .
Passo 4
Determinar
a partir do alcance horizontal.
- Tempo total de voo
em trajetória simétrica é . Então - O alcance horizontal dado é
. Como , então - Interpretação: a velocidade horizontal inicial precisa ser
para que, em , a bola percorra .
Passo 5
Calcular o módulo da velocidade inicial
e o ângulo
.
- Usando Pitágoras para combinar as componentes:
- Podemos escrever a forma exata
. Valor numérico aproximado: - Agora o ângulo:
- Interpretação: a velocidade inicial tem módulo aproximadamente
e aponta acima da horizontal.
Passo 6
Calcular a velocidade após
: componentes e fórmula.
- A componente horizontal permanece constante:
- A componente vertical em
usa : - Interpretação: aos
a componente vertical ainda é positiva (para cima) e vale .
Passo 7
Calcular o módulo, a direção (ângulo) e explicitar o sentido da velocidade em
.
- Módulo:
Valor numérico: - Ângulo em relação à horizontal (medido acima da horizontal, porque
): - Sentido: a velocidade está direcionada para a frente (mesma direção horizontal do lançamento) e para cima (porque
). Ou seja, sentido “para a direita e para cima” se o lançamento for para a direita.
Resposta
(a)
(b) (direção acima da horizontal; sentido para a frente e para cima)
(b)