Um jogador bate uma bola de beisebol de forma que ela abandona o bastão com uma velocidade inicial \vec{v}_{o}. Sabe-se que a bola demora 3,5 \mathrm{~s} para atingir a altura máxima e alcança uma distância máxima na horizontal igual a 140 m . Despreze a resistência do ar e considere \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine:
a) o módulo da velocidade inicial \mathrm{v}_{\mathrm{o}} \mathrm{e} \mathrm{o} ângulo que esta forma com a horizontal ( \alpha ). ( 40,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} - ângulo =60,3^{\circ} )
b) o módulo, a direção e o sentido da velocidade após 2,5 \mathrm{~s} de movimento. ( 22,36 \mathrm{~m} / \mathrm{s} - ângulo =26,6^{\circ} )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Tempo para atingir a altura máxima: 3,5\\ \mathrm{s}.
    • Alcance horizontal (distância total percorrida na horizontal): 140\\ \mathrm{m}.
    • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • Despreza-se resistência do ar.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Determinar o módulo da velocidade inicial v_{0} e o ângulo \alpha que ela forma com a horizontal.
    • (b) Determinar, após 2,5\\ \mathrm{s} desde o lançamento, o módulo, a direção (ângulo em relação à horizontal) e o sentido da velocidade.

Passo 2

Entender a decomposição do movimento e as fórmulas básicas (aulas rápidas).
  • Em lançamento oblíquo sem resistência do ar se decompõe a velocidade inicial \vec{v}_0 em duas componentes:
    • componente horizontal: v_{0x} (constante durante o movimento);
    • componente vertical: v_{0y} (varia com tempo devido à aceleração gravitacional).
  • Fórmulas importantes:
    • Para a componente vertical da velocidade em instante t: v_y(t)=v_{0y}-g\,t,onde v_{0y} é a componente vertical inicial, g é a aceleração da gravidade e t o tempo.
    • O tempo para atingir a altura máxima ( t_{\text{up}}) ocorre quando v_y(t_{\text{up}})=0. Assim: 0=v_{0y}-g\,t_{\text{up}}\quad\Rightarrow\quad v_{0y}=g\,t_{\text{up}}.
    • O alcance horizontal R (considerando que o ponto de aterrissagem tem mesma altura do lançamento) é: R=v_{0x}\,T,onde T é o tempo total de voo. Para trajetória simétrica T=2\,t_{\text{up}}.
    • A magnitude da velocidade inicial relaciona-se com as componentes por: v_{0}=\sqrt{v_{0x}^{2}+v_{0y}^{2}}.
    • O ângulo \alpha entre \vec{v}_0 e a horizontal é \alpha=\arctan\!\left(\dfrac{v_{0y}}{v_{0x}}\right).
Explicação das variáveis: v_{0x} é a velocidade horizontal inicial (módulo), v_{0y} é a velocidade vertical inicial (módulo, positiva para cima), g é a aceleração da gravidade (positiva em módulo; no eixo vertical usaremos subtração ao subir), t é tempo em segundos, R é alcance em metros.

Passo 3

Calcular v_{0y} usando o tempo até o ponto mais alto.
  • Usando v_{0y}=g\,t_{\text{up}} e tomando t_{\text{up}}=3,5\\ \mathrm{s} e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}: v_{0y}=10\cdot 3,5 = 35\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação: a componente vertical inicial precisa ser 35\\ \mathrm{m/s} para que a velocidade vertical anule após 3,5\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Determinar v_{0x} a partir do alcance horizontal.
  • Tempo total de voo T em trajetória simétrica é T=2\,t_{\text{up}}. Então T=2\cdot 3,5 = 7,0\\ \mathrm{s}.
  • O alcance horizontal dado é R=140\\ \mathrm{m}. Como R=v_{0x}\,T, então v_{0x}=\dfrac{R}{T}=\dfrac{140}{7,0}=20\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação: a velocidade horizontal inicial precisa ser 20\\ \mathrm{m/s} para que, em 7\\ \mathrm{s}, a bola percorra 140\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular o módulo da velocidade inicial v_{0} e o ângulo \alpha.
  • Usando Pitágoras para combinar as componentes: v_{0}=\sqrt{v_{0x}^{2}+v_{0y}^{2}}=\sqrt{20^{2}+35^{2}}=\sqrt{400+1225}=\sqrt{1625}.
  • Podemos escrever a forma exata v_{0}=5\sqrt{65}. Valor numérico aproximado: v_{0}\approx 40,3\\ \mathrm{m/s}.
  • Agora o ângulo: \alpha=\arctan\!\left(\dfrac{v_{0y}}{v_{0x}}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{35}{20}\right)=\arctan(1{,}75)\approx 60{,}3^\circ.
  • Interpretação: a velocidade inicial tem módulo aproximadamente 40,3\\ \mathrm{m/s} e aponta 60{,}3^\circ acima da horizontal.

Passo 6

Calcular a velocidade após 2,5\\ \mathrm{s}: componentes e fórmula.
  • A componente horizontal permanece constante: v_x(t)=v_{0x}=20\\ \mathrm{m/s}.
  • A componente vertical em t=2,5\\ \mathrm{s} usa v_y(t)=v_{0y}-g\,t: v_y(2{,}5)=35-10\cdot 2{,}5 = 35-25 = 10\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação: aos 2{,}5\\ \mathrm{s} a componente vertical ainda é positiva (para cima) e vale 10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular o módulo, a direção (ângulo) e explicitar o sentido da velocidade em t=2,5\\ \mathrm{s}.
  • Módulo: v(2{,}5)=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}=\sqrt{20^{2}+10^{2}}=\sqrt{400+100}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}.Valor numérico: v(2{,}5)\approx 22{,}36\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo em relação à horizontal (medido acima da horizontal, porque v_y>0): \theta=\arctan\!\left(\dfrac{v_y}{v_x}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{10}{20}\right)=\arctan(0{,}5)\approx 26{,}6^\circ.
  • Sentido: a velocidade está direcionada para a frente (mesma direção horizontal do lançamento) e para cima (porque v_y>0). Ou seja, sentido “para a direita e para cima” se o lançamento for para a direita.

Resposta

(a) v_{0}=40{,}3\\ \mathrm{m/s},\\ \alpha=60{,}3^\circ
(b) v(2{,}5)=22{,}36\\ \mathrm{m/s},\\ \theta=26{,}6^\circ (direção acima da horizontal; sentido para a frente e para cima)

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