9- Uma barra cuja seção circular é de l " de diâmetro está tracionada com uma força axial de 4.5 tf. Determinar a diminuição de seu diâmetro.
Dados: E=0.9 \times 10^{6} \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2} ; v=0.3
RESPOSTA: \Delta \mathrm{d} \cong 0.000752 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado pede a diminuição do diâmetro de uma barra circular quando tracionada. Dados fornecidos (todos os números e unidades estarão em notação clara):
  • Diâmetro inicial: d=1'' (uma polegada). Converter para centímetros: 1'' = 2,54\\ \text{cm}. Portanto d=2,54\\ \text{cm}.
  • Força axial aplicada: P=4,5\\ \text{tf}. Como 1\\ \text{tf}=1000\\ \text{kgf}, temos P=4500\\ \text{kgf}.
  • Módulo de Young: E=0,9\times10^{6}\\ \text{kgf/cm}^2.
  • Coeficiente de Poisson: \nu=0,3.
O que se pede:
  • Determinar a diminuição do diâmetro, isto é \Delta d (valor negativo indica encolhimento; normalmente reporta-se o módulo).

Passo 2

Entender as fórmulas que vamos usar e o porquê (aulas rápidas):
  • Tensão axial média (tensão normal) em uma barra uniforme é a força dividida pela área da seção transversal:
\sigma=\frac{P}{A},
onde \sigma é a tensão (em \text{kgf/cm}^2), P a força (em \text{kgf}) e A a área da seção (em \text{cm}^2).
  • Para uma seção circular de diâmetro d a área é
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Aqui \pi é a constante 3,14159265…, d em centímetros.
Vamos calcular A passo a passo:
d^{2}=(2,54)^{2}=6,4516.
\pi d^{2}=3{,}14159265\times6{,}4516\approx20{,}2690.
A=\frac{\pi d^{2}}{4}\approx\frac{20{,}2690}{4}=5{,}06725\\ \text{cm}^2.

Passo 3

Calcular a tensão axial \sigma:
\sigma=\frac{P}{A}=\frac{4500}{5{,}06725}\\ \text{kgf/cm}^2\approx888{,}03\\ \text{kgf/cm}^2.
Expliquei: é só dividir a força pela área; unidades ficam \text{kgf/cm}^2 que são compatíveis com E.

Passo 4

Relacionar tensão axial com deformação axial (lei de Hooke linear elástica):
  • Para deformações pequenas e material elástico linear, a deformação axial \varepsilon é
\varepsilon=\frac{\sigma}{E},
onde \varepsilon é adimensional (razão de variação de comprimento), \sigma em \text{kgf/cm}^2 e E em \text{kgf/cm}^2.
Calculemos:
\varepsilon=\frac{888{,}03}{0{,}9\times10^{6}}=\frac{888{,}03}{900{,}000}\approx0{,}0009867.
Interpretação: a barra alonga cerca de 0{,}0009867 vezes seu comprimento (cerca de 0{,}09867\%).

Passo 5

Usar o coeficiente de Poisson para achar a deformação lateral (contração do diâmetro):
  • Definição: a deformação lateral (transversal) \varepsilon_{\text{lat}} está relacionada com a axial por
\varepsilon_{\text{lat}}=-\nu\,\varepsilon,
onde o sinal negativo indica que uma tração (alongamento axial positivo) provoca contração lateral (valor negativo).
Calculemos:
\varepsilon_{\text{lat}}=-0{,}3\times0{,}0009867\approx-0{,}00029601.
Significado: cada 1 cm de diâmetro diminui em aproximadamente 0{,}00029601 cm por centímetro de diâmetro (adimensional multiplicado pelo comprimento dá variação).

Passo 6

Converter a deformação lateral em variação absoluta do diâmetro:
  • A variação do diâmetro \Delta d é
\Delta d=\varepsilon_{\text{lat}}\times d.
Substituindo os números:
\Delta d\approx(-0{,}00029601)\times2{,}54\\ \text{cm}\approx-0{,}00075186\\ \text{cm}.
O sinal negativo confirma que o diâmetro diminui. O módulo desta diminuição é 0{,}00075186\\ \text{cm}.

Passo 7

Arredondamento e conclusão final.
  • Arredondando para a precisão indicada na resposta fornecida,
\Delta d \cong -0{,}000752\\ \text{cm},
ou seja, a diminuição do diâmetro (módulo) é \;0{,}000752\\ \text{cm}.

Resposta

\Delta d \cong 0{,}000752\\ \text{cm}

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