Uma barra delgada de 80,0 \mathrm{~cm} de comprimento e massa igual a 2,50 \mathrm{~kg} é presa por um pivô localizado 10,0 \mathrm{~cm} abaixo de seu topo. Inícialmente a barra repousa verticalmente quando um objeto pontual de 400 g , viajando com velocidade horizontal de 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, atinge a barra a 15,0 cm de sua base. Sabendo que após a colisão o objeto fica preso à baria, determine:
(a) O momento de inércia do conjunto (objeto + barra) em torno do pivô;
(b) O ângulo máximo que a barra atinge.

Passo 1

O enunciado nos dá uma barra delgada de comprimento L=0,80 m e massa M=2,50 kg, presa por um pivô que está a 0,10 m abaixo do topo. Um objeto pontual de massa m=0,400 kg atinge horizontalmente a barra com velocidade v=5,0 m/s no ponto que fica a 0,15 m da base da barra. Após a colisão perfeitamente inelástica, o objeto gruda na barra. Pede-se:
(a) o momento de inércia do conjunto em torno do pivô;
(b) o ângulo máximo \theta que o sistema atinge.
Vamos usar os conceitos de:
  • momento de inércia e teorema dos eixos paralelos;
  • conservação do momento angular em torno do pivô;
  • conversão de energia cinética rotacional em energia potencial gravitacional.

Passo 2

Primeiro identificamos as distâncias-chave em relação ao pivô:
O centro de massa da barra fica a L/2=0,40 m do topo. Como o pivô está a 0,10 m do topo, a distância do pivô ao centro de massa da barra é
d = 0,40 - 0,10 = 0,30\text{ m}.
O ponto de impacto está a 0,15 m da base. A base fica a L=0,80 m do topo, logo o impacto ocorre a 0,80 - 0,15 = 0,65 m do topo. Assim, a distância do pivô ao ponto de impacto é
r = 0,65 - 0,10 = 0,55\text{ m}.

Passo 3

Calculamos o momento de inércia da barra em torno do pivô pelo teorema dos eixos paralelos:
I_{\mathrm{cm}} = \tfrac{1}{12} M L^2, \quad I_{\mathrm{barra}} = I_{\mathrm{cm}} + M d^2.
Substituindo valores:
I_{\mathrm{cm}} = \tfrac{1}{12}\cdot2{,}50\cdot(0{,}80)^2 \approx 0{,}13\\ \mathrm{kg\cdot m^2},
I_{\mathrm{barra}} = 0{,}13 + 2{,}50\cdot(0{,}30)^2 = 0{,}13 + 2{,}50\cdot0{,}09 \approx 0{,}36\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
O objeto pontual contribui com
I_{\mathrm{obj}} = m\,r^2 = 0{,}400\cdot(0{,}55)^2 \approx 0{,}12\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Portanto, o momento de inércia total é
I_{\mathrm{total}} = I_{\mathrm{barra}} + I_{\mathrm{obj}} \approx 0{,}36 + 0{,}12 = 0{,}48\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 4

Na colisão, desprezando impulso externo ao pivô, conservamos o momento angular em torno do pivô:
L_i = m\,v\,r, \quad L_f = I_{\mathrm{total}}\,\omega.
Igualando L_i = L_f,
\omega = \frac{m\,v\,r}{I_{\mathrm{total}}} = \frac{0{,}400\cdot5{,}0\cdot0{,}55}{0{,}48} \approx 2{,}30\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Após a colisão, toda a energia cinética rotacional se converte em potencial gravitacional no ponto de virada:
\tfrac{1}{2}I_{\mathrm{total}}\omega^2 = M g d\,(1 - \cos\theta) + m g r\,(1 - \cos\theta).
Fatorando (1-\cos\theta):
\tfrac12I_{\mathrm{total}}\omega^2 = g\,(M d + m r)\,(1 - \cos\theta).
Logo,
1 - \cos\theta = \frac{\tfrac12I_{\mathrm{total}}\omega^2}{g\,(M d + m r)} \approx \frac{0{,}5\cdot0{,}48\cdot(2{,}30)^2}{9{,}8\cdot(2{,}50\cdot0{,}30 + 0{,}400\cdot0{,}55)} \approx 0{,}133,
\cos\theta \approx 1 - 0{,}133 = 0{,}867, \quad \theta = \operatorname{arccos}(0{,}867) \approx 30^\circ.

Resposta

(a) I_{\mathrm{total}}\approx0,48\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
(b) \theta\approx30^\circ.

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