Uma carga elétrica igual a 6,28 \mathrm{nC} está uniformemente distribuida sobre a superfície de uma esfera metálica, com raio igual a 8,3 \mathrm{~cm}. Considerando como zero o potencial a uma distância infinita da esfera, calcule a diferença de potencial entre os pontos a=43,2 \mathrm{~cm} e b=18,6 \mathrm{~cm}. Tome como referência o centro da esfera.

Passo 1

O enunciado dá uma carga Q=6,28\times10^{-9}\,\mathrm{C} uniformemente distribuída numa esfera metálica de raio R=8,3\,\mathrm{cm}, e pede a diferença de potencial entre dois pontos a distâncias a=43,2\,\mathrm{cm} e b=18,6\,\mathrm{cm} do centro da esfera, tomando V(\infty)=0. O conteúdo é potencial eletrostático de uma esfera condutora e usaremos a fórmula do potencial fora de uma esfera carregada, obtida pelo teorema de Gauss ou considerando-a como carga puntiforme.

Passo 2

Para r\ge R, o potencial eletrostático de uma esfera carregada é igual ao de uma carga pontual Q no centro, ou seja
V(r)=\frac{k\,Q}{r},
onde k=9,0\times10^{9}\,\mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.

Passo 3

Como a=43{,}2\,\mathrm{cm}=0{,}432\,\mathrm{m} e b=18{,}6\,\mathrm{cm}=0{,}186\,\mathrm{m} são ambos maiores que R, temos
V(a)=\frac{k\,Q}{a}, \qquad V(b)=\frac{k\,Q}{b}.

Passo 4

A diferença de potencial entre os pontos a e b, tomando \Delta V=V(a)-V(b), é
\Delta V =\frac{k\,Q}{a}-\frac{k\,Q}{b} =k\,Q\Bigl(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\Bigr).
Substituindo os valores numéricos:
k\,Q=(9{,}0\times10^{9})(6{,}28\times10^{-9})\approx56{,}5,
\frac{1}{a}-\frac{1}{b} =\frac{1}{0{,}432}-\frac{1}{0{,}186} \approx2{,}315-5{,}376=-3{,}061,
\Delta V\approx56{,}5\times(-3{,}061)\approx-173{,}0\\ \mathrm{V}.

Resposta

\displaystyle \Delta V=V(a)-V(b)\approx -1{,}73\times10^{2}\,\mathrm{V}.

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