Uma barra feita de uma liga de alumínio tem um comprimento de 9,000 cm a 15,000^{\circ} \mathrm{C} e um comprimento de 9,035 \mathrm{~cm} no ponto de ebulição da água.
(a) Qual é o comprimento da barra no ponto de congelamento da água?
(b) Qual é a temperatura para a qual o comprimento da barra é 9,015 \mathrm{~cm} ?

Passo 1

O enunciado trata de dilatação térmica linear de uma barra de liga de alumínio. Sabemos que o comprimento varia segundo
L(T) = L(T_{\mathrm{ref}})\bigl[1 + \alpha\,(T - T_{\mathrm{ref}})\bigr],
onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear. Aqui tomamos T_{\mathrm{ref}}=15{,}000^\circ\mathrm{C} com L(15{,}000^\circ\mathrm{C})=9{,}000\mathrm{~cm} e sabemos também que L(100{,}000^\circ\mathrm{C})=9{,}035\mathrm{~cm}. Precisamos achar primeiro \alpha, depois
(a) L(0{,}000^\circ\mathrm{C}) e
(b) a temperatura T tal que L(T)=9{,}015\mathrm{~cm}.

Passo 2

Calcular \alpha usando os dados em 15{,}000^\circ\mathrm{C} e 100{,}000^\circ\mathrm{C}:
\alpha =\frac{L(100{,}000^\circ\mathrm{C})-L(15{,}000^\circ\mathrm{C})} {L(15{,}000^\circ\mathrm{C})\,(100-15)} =\frac{9{,}035 - 9{,}000}{9{,}000\cdot 85} =\frac{0,035}{765} \approx 4{,}575\times10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 3

Usar a fórmula de dilatação para T=0{,}000^\circ\mathrm{C}:
L(0) =9{,}000\bigl[1 + \alpha\,(0 - 15)\bigr] =9{,}000\bigl(1 - 15\alpha\bigr) =9{,}000\bigl(1 - 15\times4{,}575\times10^{-5}\bigr) \approx 9{,}000 \times 0,99931375 \approx 8{,}994\mathrm{~cm}.

Passo 4

Determinar T tal que L(T)=9{,}015\mathrm{~cm}:
9{,}015 = 9{,}000\bigl[1 + \alpha\,(T - 15)\bigr] \quad\Longrightarrow\quad 1 + \alpha\,(T-15) = \frac{9{,}015}{9{,}000}=1{,}0016667,
\alpha\,(T-15)=0{,}0016667 \quad\Longrightarrow\quad T-15 = \frac{0{,}0016667}{4{,}575\times10^{-5}}\approx36{,}432 \quad\Longrightarrow\quad T\approx51{,}4^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) 8{,}994\mathrm{~cm}
(b) 51{,}4^\circ\mathrm{C}

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