Uma casca esférica com 6 c m de raio apresenta uma densidade superficial de carga uniforme \sigma=9 n C / m^{2}. (a) Qual é a carga total sobre a casca? Determine o campo elétrico em
(b) r=2 \mathrm{~cm}, (c) r=5,9 \mathrm{~cm}, (d) r=6,1 \mathrm{~cm} e (e) r=10 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado trata de uma casca esférica de raio R=6\\ \text{cm}=0{,}06\\ \text{m} com densidade superficial de carga uniforme \sigma=9\\ \text{nC}/\text{m}^2=9\times10^{-9}\\ \text{C}/\text{m}^2. Precisamos (a) calcular a carga total Q da casca e (b–e) determinar o campo elétrico E para várias posições radiais r. Usaremos a Lei de Gauss para casca esférica:
  1. Dentro da casca r<R o campo é nulo.
  2. Fora da casca r\ge R o campo se comporta como uma carga pontual Q concentrada na origem:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}\,.

Passo 2

Calcular a carga total na casca usando
Q=\sigma\cdot\text{área}=\sigma\,(4\pi R^2).á
Substituindo \sigma=9\times10^{-9}\\ \text{C}/\text{m}^2 e R=0{,}06\\ \text{m},
Q=9\times10^{-9}\cdot4\pi\,(0{,}06)^2 =9\times10^{-9}\cdot4\pi\cdot0{,}0036 \approx4{,}07\times10^{-10}\\ \text{C}.

Passo 3

Para r< R (ou seja, em r=2\\ \text{cm} e r=5{,}9\\ \text{cm}) a casca esférica não “enquadra” carga interna, logo
E(r)=0\quad\text{para}\quad r<0{,}06\\ \text{m}.

Passo 4

Para r\ge R usamos
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2},
com 1/(4\pi\varepsilon_0)=k\approx8{,}99\times10^9\\ \text{N\cdotm}^2/\text{C}^2 e Q\approx4{,}07\times10^{-10}\\ \text{C}. Logo
k\,Q\approx8{,}99\times10^9\cdot4{,}07\times10^{-10}\approx3{,}66\\ \text{N\cdotm}^2/\text{C}.

Passo 5

Calcular E em cada ponto externo:
– Para r=6{,}1\\ \text{cm}=0{,}061\\ \text{m}:
E(0{,}061)=\frac{3{,}66}{(0{,}061)^2} \approx\frac{3{,}66}{0{,}003721} \approx9,83\times10^2\\ \text{N/C}.
– Para r=10\\ \text{cm}=0{,}10\\ \text{m}:
E(0{,}10)=\frac{3{,}66}{(0{,}10)^2} =\frac{3{,}66}{0{,}01} =3,66\times10^2\\ \text{N/C}.

Resposta

(a) Q\approx4{,}07\times10^{-10}\\ \text{C}.
(b) E(2\\ \text{cm})=0.
(c) E(5{,}9\\ \text{cm})=0.
(d) E(6{,}1\\ \text{cm})\approx9,83\times10^{2}\\ \text{N/C}.
(e) E(10\\ \text{cm})\approx3,66\times10^{2}\\ \text{N/C}.

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