Exercício 1.8 G: A distância entre os centros de uma esfera de chumbo de 200 g e uma esfera de chumbo de 800 g é de 0,120 \mathrm{~m}. Um objeto de 1,00 \mathrm{~g} é colocado 0,0800 \mathrm{~m} do centro da esfera de 800 g ao longo da linha juntando os centros das duas esferas. (a) Ignorando todas as fontes da força gravitacional, exceto as duas esferas, calcule o força gravitacional exercida sobre o objeto. (b) Determine o energia potencial gravitacional por grama na posição do objeto. (c) Quanto trabalho é necessário para trazer o objeto 0,0400 \mathrm{~m} mais perto da esfera de 800 g ?

Passo 1

O enunciado descreve duas esferas de chumbo com massas m_1=0{,}200\\ \text{kg} e m_2=0{,}800\\ \text{kg}, cujos centros estão separados por 0{,}120\\ \text{m}. Um objeto de massa m=1{,}00\\ \text{g}=0{,}001\\ \text{kg} é colocado ao longo da linha que une os centros a r_2=0{,}080\\ \text{m} do centro da esfera de massa m_2. Consequentemente, ele fica a
r_1 = 0{,}120 - 0{,}080 = 0{,}040\\ \text{m}
do centro da esfera de massa m_1. Para resolver a questão, vamos usar:
  1. Lei da gravitação universal para a força
F_i = G\,\frac{m_i\,m}{r_i^2}
  1. Energia potencial gravitacional de um par de massas
U = -G\,m\Bigl(\frac{m_1}{r_1} + \frac{m_2}{r_2}\Bigr)
  1. Trabalho da força externa para mover o objeto
W_{\rm ext} = \Delta U = U_{\rm final}-U_{\rm inicial}.
Adotamos G=6{,}67\times10^{-11}\\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}.

Passo 2

Calculamos as magnitudes das forças da esfera m_1 (à esquerda) e de m_2 (à direita) sobre o objeto, e depois somamos vetorialmente (definindo positivo para a atração de m_2):
F_1 = G\,\frac{m_1\,m}{r_1^2} = \frac{6{,}67\times10^{-11}\times0{,}200\times0{,}001}{(0{,}040)^2} =8{,}34\times10^{-12}\\ \mathrm{N}
F_2 = G\,\frac{m_2\,m}{r_2^2} = \frac{6{,}67\times10^{-11}\times0{,}800\times0{,}001}{(0{,}080)^2} =8{,}34\times10^{-12}\\ \mathrm{N}
Como F_1 puxa o objeto para a esquerda e F_2 com a mesma magnitude puxa para a direita, a resultante é
F_{\rm net} = F_2 - F_1 = 0\\ \mathrm{N}.

Passo 3

A energia potencial gravitacional do objeto na posição dada é
U = -G\,m\Bigl(\frac{m_1}{r_1}+\frac{m_2}{r_2}\Bigr) = -6{,}67\times10^{-11}\times0{,}001\bigl(\tfrac{0{,}200}{0{,}040}+\tfrac{0{,}800}{0{,}080}\bigr) = -1{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{J}.
Como o objeto tem 1{,}00\\ \mathrm{g}, isso já é a energia potencial por grama.

Passo 4

Para aproximar o objeto 0{,}040\\ \mathrm{m} mais de m_2, a nova distância a m_2 será r_{2f}=0{,}080-0{,}040=0{,}040\\ \mathrm{m} e a de m_1 ficará r_{1f}=0{,}120-0{,}040=0{,}080\\ \mathrm{m}. Calculamos
U_i=-1{,}0005\times10^{-12}\\ \mathrm{J}, \quad U_f = -G\,m\Bigl(\tfrac{m_1}{r_{1f}}+\tfrac{m_2}{r_{2f}}\Bigr) = -1{,}5008\times10^{-12}\\ \mathrm{J}.
O trabalho da força externa é
W_{\rm ext} = U_f - U_i = -1{,}5008\times10^{-12} - (-1{,}0005\times10^{-12}) = -5{,}00\times10^{-13}\\ \mathrm{J}.
O sinal negativo indica que a gravidade realiza trabalho positivo, e a força externa realizaria \,5{,}00\times10^{-13}\\ \mathrm{J} em módulo.

Resposta

(a) 0\\ \mathrm{N}.
(b) -1{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{J} por grama.
(c) W_{\rm ext}=-5{,}00\times10^{-13}\\ \mathrm{J} (módulo 5{,}00\times10^{-13}\\ \mathrm{J}).

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