Uma barra fina de comprimento
e momento de inércia
está na horizontal presa a um eixo de rotação vertical que passa por seu centro de massa. A barra é posta para girar com aceleraçāo angular constante durante
até alcançar uma velocidade angular de
. Seu sistema de freio consiste de dois pequenos anéis, cada um de massa
, inicialmente presos ao eixo de rotaçào, e montados de forma qụe podem deslizar ao longo da barra. Quando o freio é acionado cada anél desliza para fora até alcançar a borda da barra. Calcule © a diferença entre as energias de rotação
e
e o trabalho realizado para deslocar os ancis de freio do eixo até a borda da barra.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que precisamos usar. Temos uma barra fina de 1 metro de comprimento e momento de inércia de
que está presa horizontalmente a um eixo de rotação. Depois de girar com uma aceleração angular constante por 5 segundos, ela atinge uma velocidade angular de
.
Além disso, há dois anéis de massa
cada que podem deslizar ao longo da barra quando o freio é acionado, indo até a borda da barra. Precisamos calcular a diferença entre as energias de rotação antes e depois dos anéis se moverem para a borda (
e
) e o trabalho realizado para mover os anéis.
Os conceitos principais que vamos usar são:
- Momento de Inércia (
): Resistência de um objeto à mudança em seu estado de rotação. - Energia Cinética Rotacional (
): Energia associada ao movimento de rotação. - Trabalho (
): Energia transferida para ou de um sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia inicial (
) da barra. A barra é dada com
.
Quando os anéis estão presos no eixo, o momento de inércia total inicial (
) é apenas o da barra, já que os anéis estão no centro (
):
Passo 3
Agora, quando o freio é acionado, os anéis deslizam até a borda da barra. A barra tem comprimento total de
, então cada anel atinge uma distância de
do eixo.
O momento de inércia de um ponto de massa é dado por:
Para dois anéis, temos:
Passo 4
O momento de inércia total após os anéis se moverem para a borda (
) é a soma do momento de inércia da barra e dos anéis:
Passo 5
Assumindo que o sistema não perde energia para o ambiente e que a velocidade angular muda devido à mudança no momento de inércia, podemos usar a conservação do momento angular. Entretanto, como estamos interessados na diferença das energias de rotação, podemos calcular diretamente as energias antes e depois.
A energia cinética rotacional é dada por:
Calculando
com
e
:
Passo 6
Agora, calculamos
usando
. Precisamos encontrar a nova velocidade angular
após os anéis se moverem para a borda. Usando a conservação do momento angular:
Resolvendo para
:
Agora, calculamos
:
Passo 7
A diferença entre as energias de rotação é:
Esse valor representa a energia que foi transferida para mover os anéis até a borda, ou seja, o trabalho realizado para deslocar os anéis.
Resposta
A diferença entre as energias de rotação é aproximadamente
e o trabalho realizado para deslocar os anéis é de
.