Uma barra fina de comprimento 1,00 m e momento de inércia 0,042 kg m^2 está na horizontal presa a um eixo de rotação vertical que passa por seu centro de massa. A barra é posta para girar com aceleraçāo angular constante durante 5,00 s até alcançar uma velocidade angular de omega1=2,00 rad / s. Seu sistema de freio consiste de dois pequenos anéis, cada um de massa 0,25 kg, inicialmente presos ao eixo de rotaçào, e montados de forma qụe podem deslizar ao longo da barra. Quando o freio é acionado cada anél desliza para fora até alcançar a borda da barra. Calcule © a diferença entre as energias de rotação K1(omega1) e K2(omega2) e o trabalho realizado para deslocar os ancis de freio do eixo até a borda da barra.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que precisamos usar. Temos uma barra fina de 1 metro de comprimento e momento de inércia de 0,042 , kg cdot m^2 que está presa horizontalmente a um eixo de rotação. Depois de girar com uma aceleração angular constante por 5 segundos, ela atinge uma velocidade angular de omega1 = 2,00 , rad/s.
Além disso, há dois anéis de massa 0,25 , kg cada que podem deslizar ao longo da barra quando o freio é acionado, indo até a borda da barra. Precisamos calcular a diferença entre as energias de rotação antes e depois dos anéis se moverem para a borda ( K1 e K2) e o trabalho realizado para mover os anéis.
Os conceitos principais que vamos usar são:
  • Momento de Inércia ( J): Resistência de um objeto à mudança em seu estado de rotação.
  • Energia Cinética Rotacional ( K): Energia associada ao movimento de rotação.
  • Trabalho ( W): Energia transferida para ou de um sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia inicial ( J1) da barra. A barra é dada com J1 = 0,042 , kg cdot m^2.
Quando os anéis estão presos no eixo, o momento de inércia total inicial ( Jtotal,1) é apenas o da barra, já que os anéis estão no centro ( r = 0):
Jtotal,1 = J1 = 0,042 , kg cdot m^2

Passo 3

Agora, quando o freio é acionado, os anéis deslizam até a borda da barra. A barra tem comprimento total de 1,00 , m, então cada anel atinge uma distância de r = 0,5 , m do eixo.
O momento de inércia de um ponto de massa é dado por:
J = m cdot r^2
Para dois anéis, temos:
Janéis = 2 cdot (0,25 , kg) cdot (0,5 , m)^2 = 2 cdot 0,25 cdot 0,25 = 0,125 , kg cdot m^2 é

Passo 4

O momento de inércia total após os anéis se moverem para a borda ( Jtotal,2) é a soma do momento de inércia da barra e dos anéis:
Jtotal,2 = J1 + Janéis = 0,042 + 0,125 = 0,167 , kg cdot m^2 é

Passo 5

Assumindo que o sistema não perde energia para o ambiente e que a velocidade angular muda devido à mudança no momento de inércia, podemos usar a conservação do momento angular. Entretanto, como estamos interessados na diferença das energias de rotação, podemos calcular diretamente as energias antes e depois.
A energia cinética rotacional é dada por:
K = 12 J omega^2
Calculando K1 com Jtotal,1 = 0,042 , kg cdot m^2 e omega1 = 2,00 , rad/s:
K1 = 12 cdot 0,042 cdot (2,00)^2 = 12 cdot 0,042 cdot 4 = 0,084 , J

Passo 6

Agora, calculamos K2 usando Jtotal,2 = 0,167 , kg cdot m^2. Precisamos encontrar a nova velocidade angular omega2 após os anéis se moverem para a borda. Usando a conservação do momento angular:
Jtotal,1 cdot omega1 = Jtotal,2 cdot omega2
Resolvendo para omega2:
omega2 = Jtotal,1 cdot omega1Jtotal,2 = 0,042 cdot 2,000,167 approx 0,504 , rad/s
Agora, calculamos K2:
K2 = 12 cdot 0,167 cdot (0,504)^2 approx 12 cdot 0,167 cdot 0,254 approx 0,0212 , J

Passo 7

A diferença entre as energias de rotação é:
De
Esse valor representa a energia que foi transferida para mover os anéis até a borda, ou seja, o trabalho realizado para deslocar os anéis.

Resposta

A diferença entre as energias de rotação é aproximadamente 0,063 , J e o trabalho realizado para deslocar os anéis é de 0,063 , J.

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