Uma barra fina de comprimento
e momento de inércia
está na horizontal presa a um eixo de rotação vertical que passa por seu centro de massa. A barra é posta para girar com aceleraçāo angular constante durante
até alcançar uma velocidade angular de
. Seu sistema de freio consiste de dois pequenos anéis, cada um de massa
, inicialmente presos ao eixo de rotaçào, e montados de forma qụe podem deslizar ao longo da barra. Quando o freio é acionado cada anél desliza para fora até alcançar a borda da barra. Calcule (b) a velocidade angular
depois que o freio é acionado e os ancis alcançam a borda da barra;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma barra fina de 1 metro de comprimento e um momento de inércia de
. Ela está na horizontal e gira em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro de massa. A barra começa a girar com uma aceleração angular constante durante 5 segundos até atingir uma velocidade angular de
.
Além disso, há dois pequenos anéis, cada um com massa de
, presos inicialmente ao eixo de rotação e que podem deslizar ao longo da barra. Quando o freio é acionado, esses anéis deslizam até alcançar a borda da barra. Precisamos calcular a velocidade angular
depois que o freio é acionado e os anéis atingem a borda da barra.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de conservação do momento angular. Vamos precisar entender o que é momento angular, momento de inércia e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é momento angular. O momento angular (
) de um objeto que gira é dado pela fórmula:
Onde:
-
é o momento de inércia -
é a velocidade angular
O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia.
Passo 3
No estado inicial, antes do freio ser acionado, apenas a barra está girando, e os anéis estão no eixo. O momento de inércia total inicial (
) é apenas o da barra:
A velocidade angular inicial é
.
Portanto, o momento angular inicial (
) é:
Passo 4
Depois que o freio é acionado, os anéis deslizam até a borda da barra. Agora, precisamos calcular o novo momento de inércia total (
) com os anéis na borda.
Cada anel tem massa
e está a uma distância de
do eixo (já que a barra tem comprimento total de 1 metro, o raio é metade disso).
O momento de inércia de um ponto de massa é dado por:
Então, para dois anéis:
O momento de inércia total após os anéis se moverem para a borda é:
Passo 5
Assumindo que não há torque externo agindo no sistema durante o movimento dos anéis (a menos que haja atrito ou outras forças, mas não são mencionadas no problema), podemos aplicar a conservação do momento angular:
Ou seja:
Queremos encontrar
, então rearranjamos a equação:
Passo 6
Agora, substituímos os valores que já calculamos:
Resposta
A velocidade angular
depois que o freio é acionado e os anéis alcançam a borda da barra é aproximadamente
.