Uma barra fina de comprimento 1,00 m e momento de inércia 0,042 kg m^2 está na horizontal presa a um eixo de rotação vertical que passa por seu centro de massa. A barra é posta para girar com aceleraçāo angular constante durante 5,00 s até alcançar uma velocidade angular de omega1=2,00 rad / s. Seu sistema de freio consiste de dois pequenos anéis, cada um de massa 0,25 kg, inicialmente presos ao eixo de rotaçào, e montados de forma qụe podem deslizar ao longo da barra. Quando o freio é acionado cada anél desliza para fora até alcançar a borda da barra. Calcule (b) a velocidade angular w2 depois que o freio é acionado e os ancis alcançam a borda da barra;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma barra fina de 1 metro de comprimento e um momento de inércia de 0,042 , kg cdot m^2. Ela está na horizontal e gira em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro de massa. A barra começa a girar com uma aceleração angular constante durante 5 segundos até atingir uma velocidade angular de omega1 = 2,00 , rad/s.
Além disso, há dois pequenos anéis, cada um com massa de 0,25 , kg, presos inicialmente ao eixo de rotação e que podem deslizar ao longo da barra. Quando o freio é acionado, esses anéis deslizam até alcançar a borda da barra. Precisamos calcular a velocidade angular omega2 depois que o freio é acionado e os anéis atingem a borda da barra.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de conservação do momento angular. Vamos precisar entender o que é momento angular, momento de inércia e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é momento angular. O momento angular ( L) de um objeto que gira é dado pela fórmula:
L = I cdot omega
Onde:
  • I é o momento de inércia
  • omega é a velocidade angular
O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia.

Passo 3

No estado inicial, antes do freio ser acionado, apenas a barra está girando, e os anéis estão no eixo. O momento de inércia total inicial ( Ii) é apenas o da barra:
Ii = 0,042 , kg cdot m^2
A velocidade angular inicial é omega1 = 2,00 , rad/s.
Portanto, o momento angular inicial ( Li) é:
Li = Ii cdot omega1 = 0,042 times 2,00 = 0,084 , kg cdot m^2/s

Passo 4

Depois que o freio é acionado, os anéis deslizam até a borda da barra. Agora, precisamos calcular o novo momento de inércia total ( If) com os anéis na borda.
Cada anel tem massa m = 0,25 , kg e está a uma distância de r = 0,5 , m do eixo (já que a barra tem comprimento total de 1 metro, o raio é metade disso).
O momento de inércia de um ponto de massa é dado por:
I = m cdot r^2
Então, para dois anéis:
Ianéis = 2 times (0,25) times (0,5)^2 = 2 times 0,25 times 0,25 = 0,125 , kg cdot m^2 é
O momento de inércia total após os anéis se moverem para a borda é:
If = Ibarra + Ianéis = 0,042 + 0,125 = 0,167 , kg cdot m^2 é

Passo 5

Assumindo que não há torque externo agindo no sistema durante o movimento dos anéis (a menos que haja atrito ou outras forças, mas não são mencionadas no problema), podemos aplicar a conservação do momento angular:
Li = Lf
Ou seja:
Ii cdot omega1 = If cdot omega2
Queremos encontrar omega2, então rearranjamos a equação:
omega2 = Ii cdot omega1If

Passo 6

Agora, substituímos os valores que já calculamos:
omega2 = 0,042 times 2,000,167 = 0,0840,167 approx 0,503 , rad/s

Resposta

A velocidade angular omega2 depois que o freio é acionado e os anéis alcançam a borda da barra é aproximadamente 0,503 , rad/s.

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