Tobias toca uma corda com comprimento
, tensão 150 N e densidade linear de massa
, produzindo um conjunto de ondas estacionárias num violão. (a) Quais são as três menores freqüências nas quais esta corda pode vibrar?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma corda de violão que tem 0,7 metros de comprimento, está esticada com uma tensão de 150 N e tem uma densidade linear de massa de 0,030 kg/m. O objetivo aqui é descobrir as três menores frequências nas quais essa corda pode vibrar, ou seja, as três primeiras notas que ela pode produzir. Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas estacionárias e a fórmula que relaciona a frequência das vibrações com a tensão, a massa da corda e o seu comprimento.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a fórmula que nos dá a frequência das ondas estacionárias em uma corda fixa nas duas extremidades. A fórmula é:
Onde:
- $ f_n $ é a frequência da $ n $-ésima harmônica.
- $ n $ é o número da harmônica (1, 2, 3, …).
- $ L $ é o comprimento da corda.
- $ T $ é a tensão na corda.
- $ \mu $ é a densidade linear de massa da corda.
Passo 3
Vamos identificar cada valor que temos na questão:
- Comprimento da corda ($ L $) = 0,7 m
- Tensão ($ T $) = 150 N
- Densidade linear de massa ($ \mu $) = 0,030 kg/m
Passo 4
Agora, vamos calcular o termo dentro da raiz quadrada:
Vamos fazer essa conta primeiro:
Então:
Passo 5
Agora, substituímos esse valor na fórmula da frequência:
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 6
Vamos calcular para as três primeiras harmônicas, ou seja, $ n = 1, 2, 3 $:
- Primeira harmônica ($ n = 1 $):
- Segunda harmônica ($ n = 2 $):
- Terceira harmônica ($ n = 3 $):
Resposta
As três menores frequências nas quais a corda pode vibrar são aproximadamente 50,51 Hz, 101,02 Hz e 151,53 Hz.