Duas equipes disputam uma gincana; ganha quem conseguir transmitir mais rapidamente um sinal em forma de onda por uma distância
. A equipe 1 monta um tubo de ar que propaga o sinal quando tamborilamos numa membrana em sua extremidade. A equipe 2 transmite seu sinal balançando uma corda esticada e presa na extremidade final. (b) A partir de qual temperatura o resultado da disputa se inverte? Assuma
,
e uma tensão na corda de 140 N .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma competição entre duas equipes tentando transmitir um sinal na forma de onda pela distância $ L $. A equipe 1 usa um tubo de ar e a equipe 2 utiliza uma corda esticada com uma certa tensão. A pergunta é: A partir de qual temperatura o resultado da disputa se inverte? Ou seja, a partir de qual temperatura a equipe 2 passa a transmitir o sinal mais rápido que a equipe 1.
Matéria envolvida: Ondulatória, especificamente velocidade de propagação de ondas em meios diferentes (ar e corda).
O que precisamos para resolver:
- Fórmula da velocidade do som no ar em função da temperatura.
- Fórmula da velocidade de uma onda em uma corda em função da tensão e da massa por unidade de comprimento.
- Igualar essas velocidades para encontrar a temperatura desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a velocidade do som no ar. A velocidade do som no ar ($ v_{ar} $) depende da temperatura e é dada pela fórmula:
onde:
- $ \gamma $ é a razão dos calores específicos (dado como 1,4),
- $ R $ é a constante dos gases (aproximadamente 287 J/(kg·K) para o ar seco),
- $ T $ é a temperatura absoluta em Kelvin.
Teoria aplicada: A velocidade do som em um gás ideal aumenta com a raiz quadrada da temperatura absoluta.
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade das ondas na corda ($ v_{corda} $). A fórmula para a velocidade de uma onda em uma corda esticada é:
onde:
- $ T $ é a tensão na corda (dado como 140 N),
- $ \mu $ é a massa por unidade de comprimento da corda (dado como 0,0017 kg/m).
Teoria aplicada: A velocidade das ondas em uma corda depende da tensão aplicada e da densidade linear da corda.
Passo 4
Vamos calcular a velocidade das ondas na corda com os valores fornecidos:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a temperatura $ T $ onde a velocidade do som no ar é igual à velocidade das ondas na corda:
Substituindo as fórmulas:
Vamos resolver para $ T $:
Passo 6
Substituindo os valores conhecidos ($ \gamma = 1,4 $ e $ R = 287, J/(kg·K) $):
Resposta
A partir de uma temperatura de aproximadamente 205 K (
), a equipe 2 transmitirá o sinal mais rapidamente que a equipe 1.