Duas equipes disputam uma gincana; ganha quem conseguir transmitir mais rapidamente um sinal em forma de onda por uma distância L. A equipe 1 monta um tubo de ar que propaga o sinal quando tamborilamos numa membrana em sua extremidade. A equipe 2 transmite seu sinal balançando uma corda esticada e presa na extremidade final. (b) A partir de qual temperatura o resultado da disputa se inverte? Assuma gamma=1,4, T(a r)=20 %C(=293 K), mu=0,0017 kg / m e uma tensão na corda de 140 N .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma competição entre duas equipes tentando transmitir um sinal na forma de onda pela distância $ L $. A equipe 1 usa um tubo de ar e a equipe 2 utiliza uma corda esticada com uma certa tensão. A pergunta é: A partir de qual temperatura o resultado da disputa se inverte? Ou seja, a partir de qual temperatura a equipe 2 passa a transmitir o sinal mais rápido que a equipe 1.
Matéria envolvida: Ondulatória, especificamente velocidade de propagação de ondas em meios diferentes (ar e corda).
O que precisamos para resolver:
  • Fórmula da velocidade do som no ar em função da temperatura.
  • Fórmula da velocidade de uma onda em uma corda em função da tensão e da massa por unidade de comprimento.
  • Igualar essas velocidades para encontrar a temperatura desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a velocidade do som no ar. A velocidade do som no ar ($ v_{ar} $) depende da temperatura e é dada pela fórmula:
var
onde:
  • $ \gamma $ é a razão dos calores específicos (dado como 1,4),
  • $ R $ é a constante dos gases (aproximadamente 287 J/(kg·K) para o ar seco),
  • $ T $ é a temperatura absoluta em Kelvin.
Teoria aplicada: A velocidade do som em um gás ideal aumenta com a raiz quadrada da temperatura absoluta.

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade das ondas na corda ($ v_{corda} $). A fórmula para a velocidade de uma onda em uma corda esticada é:
vcorda
onde:
  • $ T $ é a tensão na corda (dado como 140 N),
  • $ \mu $ é a massa por unidade de comprimento da corda (dado como 0,0017 kg/m).
Teoria aplicada: A velocidade das ondas em uma corda depende da tensão aplicada e da densidade linear da corda.

Passo 4

Vamos calcular a velocidade das ondas na corda com os valores fornecidos:
vcorda = raiz140, N0,0017, kg/m = raiz1400,0017 approx raiz82352,94 approx 287, m/s

Passo 5

Agora, queremos encontrar a temperatura $ T $ onde a velocidade do som no ar é igual à velocidade das ondas na corda:
T
Substituindo as fórmulas:
var = vcorda
Vamos resolver para $ T $:
raizgamma cdot R cdot T = 287, m/s
T

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos ($ \gamma = 1,4 $ e $ R = 287, J/(kg·K) $):
gamma = 1,4

Resposta

A partir de uma temperatura de aproximadamente 205 K ( -68,°C), a equipe 2 transmitirá o sinal mais rapidamente que a equipe 1.

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