Uma barra fina homogênea de comprimento L e massa M é articulada em uma de suas extremidades. Ela é largada da posição horizontal. Despreze o atrito e a resistência do ar. Determine (a) a aceleração angular da barra, imediatamente após ser largada, e (b) a magnitude da força FA exercida sobre a barra pelo pivô neste instante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma barra fina e uniforme, com comprimento $ L $ e massa $ M $, que está presa em uma das extremidades. Ela é solta da posição horizontal e queremos descobrir duas coisas: (a) qual é a aceleração angular da barra imediatamente após ser largada, e (b) qual é a força $ \mathrm{F}_{\mathrm{A}} $ que o pivô exerce sobre ela nesse instante. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de torque, momento de inércia e leis de Newton para rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) e encontrar a aceleração angular ($ \alpha $) da barra logo após ser solta. Quando a barra é liberada, a única força que está causando rotação é o peso da barra, que age no centro de massa.

Passo 3

O torque ($ \tau $) que causa a rotação pode ser calculado pela fórmula:
tau
Aqui, $ r $ é a distância do pivô até o ponto onde a força é aplicada, que para uma barra uniforme é $ \frac{L}{2} $, e $ F $ é a força peso, que é $ M \times g $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Calculando o torque:
tau = L2 times M times g
tau = M g L2
Esse é o torque que está fazendo a barra girar.

Passo 5

Agora, precisamos relacionar o torque com a aceleração angular usando a relação:
tau = I times alpha
Onde $ I $ é o momento de inércia da barra em relação ao ponto de rotação. Para uma barra fina e uniforme pivotada em uma extremidade, o momento de inércia é:
I

Passo 6

Substituindo os valores de $ \tau $ e $ I $ na equação:
tau
Note que a massa $ M $ se cancela dos dois lados.

Passo 7

Resolvendo para $ \alpha $:
alpha
Então, essa é a aceleração angular da barra imediatamente após ser largada.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b) e encontrar a magnitude da força $ \mathrm{F}_{\mathrm{A}} $ que o pivô exerce na barra. Essa força tem duas componentes: uma vertical e outra horizontal. A componente vertical equilibrará o peso da barra, e a componente horizontal está relacionada à aceleração angular.

Passo 9

A componente vertical da força $ \mathrm{F}_{\mathrm{A}} $ é simplesmente igual ao peso da barra:
FA

Passo 10

Para a componente horizontal, precisamos considerar a força centrípeta necessária para a rotação. Essa força é dada por:
FA, horizontal = M a
Onde $ a $ é a aceleração linear na extremidade da barra, que está relacionada à aceleração angular por:
a
Substituindo $ \alpha $ que encontramos:
a = alpha L
Então:
alpha

Passo 11

Agora, para encontrar a magnitude total da força $ \mathrm{F}_{\mathrm{A}} $, usamos o teorema de Pitágoras, já que as componentes vertical e horizontal são perpendiculares:
FA
Substituindo os valores:
|FA| = raizFA, vertical^2 + FA, horizontal^2
|FA| = raiz(M g)^2 + (3 M g2)^2

Resposta

(a) A aceleração angular da barra é $ \alpha = \frac{3g}{2L} $.
(b) A magnitude da força $ \mathrm{F}{\mathrm{A}} $ exercida pelo pivô é $ |\mathrm{F}{\mathrm{A}}| = \frac{\sqrt{13}}{2} M g $.

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