Determine o momento de inércia dos seguintes objetos, todos homogêneos:
a) Barra maciça de largura e altura desprezível e comprimento Le massa M.
b) Anel de raio Re e massa M.
c) Disco de raio Re e massa M.
d) Esfera oca de raio Re e massa M.
e) Esfera maciça de raio Re e massa M.
a) Barra maciça de largura e altura desprezível e comprimento Le massa M.
b) Anel de raio Re e massa M.
c) Disco de raio Re e massa M.
d) Esfera oca de raio Re e massa M.
e) Esfera maciça de raio Re e massa M.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está pedindo para determinar o momento de inércia de vários objetos homogêneos. O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação, e é fundamental em estudos de dinâmica rotacional. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as fórmulas específicas para cada tipo de objeto e entender como aplicá-las.
Passo 2
a) Barra maciça de largura e altura desprezível e comprimento $ L_e $ e massa $ M $.
Primeiro, vamos considerar uma barra fina com comprimento $ L_e $ e massa $ M $. O momento de inércia de uma barra em relação a um eixo que passa pelo seu centro é dado pela fórmula:
Essa fórmula nos diz que o momento de inércia depende do quadrado do comprimento da barra e da sua massa.
Passo 3
b) Anel de raio $ R_e $ e massa $ M $.
Um anel é basicamente uma circunferência com massa distribuída uniformemente. O momento de inércia de um anel em relação ao seu eixo central é:
Aqui, toda a massa está a uma distância fixa $ R_e $ do eixo de rotação, por isso o momento de inércia é simplesmente a massa multiplicada pelo quadrado do raio.
Passo 4
c) Disco de raio $ R_e $ e massa $ M $.
Para um disco sólido, a massa está distribuída desde o centro até o raio $ R_e $. O momento de inércia de um disco em relação ao seu eixo central é:
Essa fórmula reflete que, em média, as partículas de massa estão a metade do raio do anel correspondente.
Passo 5
d) Esfera oca de raio $ R_e $ e massa $ M $.
Uma esfera oca, como uma casca esférica, tem toda a sua massa na superfície. O momento de inércia de uma esfera oca em relação a qualquer eixo que passe pelo seu centro é:
Isso ocorre porque a massa está distribuída uniformemente na superfície, similar a um anel em todas as direções.
Passo 6
e) Esfera maciça de raio $ R_e $ e massa $ M $.
Para uma esfera sólida, a massa está distribuída por todo o volume. O momento de inércia de uma esfera maciça em relação a um eixo que passa pelo seu centro é:
Essa fórmula leva em conta que a massa está mais concentrada perto do centro em comparação com a esfera oca.
Resposta
Os momentos de inércia dos objetos são:
a) Barra maciça:
b) Anel:
c) Disco:
d) Esfera oca:
e) Esfera maciça: