Determine o momento de inércia dos seguintes objetos, todos homogêneos:
a) Barra maciça de largura e altura desprezível e comprimento Le massa M.
b) Anel de raio Re e massa M.
c) Disco de raio Re e massa M.
d) Esfera oca de raio Re e massa M.
e) Esfera maciça de raio Re e massa M.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está pedindo para determinar o momento de inércia de vários objetos homogêneos. O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação, e é fundamental em estudos de dinâmica rotacional. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as fórmulas específicas para cada tipo de objeto e entender como aplicá-las.

Passo 2

a) Barra maciça de largura e altura desprezível e comprimento $ L_e $ e massa $ M $.
Primeiro, vamos considerar uma barra fina com comprimento $ L_e $ e massa $ M $. O momento de inércia de uma barra em relação a um eixo que passa pelo seu centro é dado pela fórmula:
Le
Essa fórmula nos diz que o momento de inércia depende do quadrado do comprimento da barra e da sua massa.

Passo 3

b) Anel de raio $ R_e $ e massa $ M $.
Um anel é basicamente uma circunferência com massa distribuída uniformemente. O momento de inércia de um anel em relação ao seu eixo central é:
Re
Aqui, toda a massa está a uma distância fixa $ R_e $ do eixo de rotação, por isso o momento de inércia é simplesmente a massa multiplicada pelo quadrado do raio.

Passo 4

c) Disco de raio $ R_e $ e massa $ M $.
Para um disco sólido, a massa está distribuída desde o centro até o raio $ R_e $. O momento de inércia de um disco em relação ao seu eixo central é:
Re
Essa fórmula reflete que, em média, as partículas de massa estão a metade do raio do anel correspondente.

Passo 5

d) Esfera oca de raio $ R_e $ e massa $ M $.
Uma esfera oca, como uma casca esférica, tem toda a sua massa na superfície. O momento de inércia de uma esfera oca em relação a qualquer eixo que passe pelo seu centro é:
Re
Isso ocorre porque a massa está distribuída uniformemente na superfície, similar a um anel em todas as direções.

Passo 6

e) Esfera maciça de raio $ R_e $ e massa $ M $.
Para uma esfera sólida, a massa está distribuída por todo o volume. O momento de inércia de uma esfera maciça em relação a um eixo que passa pelo seu centro é:
Re
Essa fórmula leva em conta que a massa está mais concentrada perto do centro em comparação com a esfera oca.

Resposta

Os momentos de inércia dos objetos são:
a) Barra maciça:
I = 112 M Le^2
b) Anel:
I = M Re^2
c) Disco:
I = 12 M Re^2
d) Esfera oca:
I = 23 M Re^2
e) Esfera maciça:
I = 25 M Re^2

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