a) Uma bola maciça e homogênea, de massa m e raio R, desce rolando um plano inclinado de um ângulo
, sem deslizar. Determine a força de atrito e a aceleração do centro de massa.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A gente tem uma bola maciça e homogênea com massa $ m $ e raio $ R $ que está descendo por um plano inclinado com ângulo $ \varphi $, e ela rola sem deslizar. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas: a força de atrito que está agindo na bola e a aceleração do centro de massa dela. Para isso, vamos usar as leis da física que tratam de movimento rotacional e translacional, além da condição de rolamento sem deslizamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças que estão agindo na bola enquanto ela desce pelo plano inclinado. Temos:
-
Peso ($ \vec{P} $): Força da gravidade, que pode ser decomposta em duas partes:
- Paralela ao plano: $ P_{\parallel} = mg \sin \varphi $
- Perpendicular ao plano: $ P_{\perp} = mg \cos \varphi $
-
Força Normal ($ \vec{N} $): Força que o plano exerce sobre a bola, perpendicular ao plano inclinado. Ela equilibra a componente perpendicular do peso:
-
Força de Atrito ($ \vec{f} $): Forma estática que impede o deslizamento da bola. Essa força vai atuar na direção oposta ao movimento da bola.
Passo 3
Como a bola está rolando sem deslizar, existe uma relação entre a aceleração linear do centro de massa ($ a
\alpha $) devido à rotação. A condição de rolamento sem deslizamento é dada por:
Além disso, o torque causado pela força de atrito faz a bola girar. O torque ($ \tau $) é:
E o torque também está relacionado ao momento de inércia ($ I $) e à aceleração angular:
Passo 4
Para uma bola maciça e homogênea, o momento de inércia em relação ao eixo central é:
Substituindo o torque:
Usando a condição de rolamento ($ a = \alpha R $):
Passo 5
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para a transladação do centro de massa da bola. As forças paralelas ao plano são $ P_{\parallel} $ puxando a bola para baixo e a força de atrito $ f $ puxando para cima. Então:
Substituindo $ f = \frac{2}{5} m a $:
Passo 6
Vamos resolver para $ a $:
Passo 7
Agora que temos $ a $, podemos encontrar a força de atrito $ f $:
Resposta
A força de atrito é $ f = \frac{2}{7} m g \sin \varphi $ e a aceleração do centro de massa é $ a = \frac{5}{7} g \sin \varphi $.