a) Uma bola maciça e homogênea, de massa m e raio R, desce rolando um plano inclinado de um ângulo varphi, sem deslizar. Determine a força de atrito e a aceleração do centro de massa.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A gente tem uma bola maciça e homogênea com massa $ m $ e raio $ R $ que está descendo por um plano inclinado com ângulo $ \varphi $, e ela rola sem deslizar. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas: a força de atrito que está agindo na bola e a aceleração do centro de massa dela. Para isso, vamos usar as leis da física que tratam de movimento rotacional e translacional, além da condição de rolamento sem deslizamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que estão agindo na bola enquanto ela desce pelo plano inclinado. Temos:
  1. Peso ($ \vec{P} $): Força da gravidade, que pode ser decomposta em duas partes:
    • Paralela ao plano: $ P_{\parallel} = mg \sin \varphi $
    • Perpendicular ao plano: $ P_{\perp} = mg \cos \varphi $
  2. Força Normal ($ \vec{N} $): Força que o plano exerce sobre a bola, perpendicular ao plano inclinado. Ela equilibra a componente perpendicular do peso:
    P
  3. Força de Atrito ($ \vec{f} $): Forma estática que impede o deslizamento da bola. Essa força vai atuar na direção oposta ao movimento da bola.

Passo 3

Como a bola está rolando sem deslizar, existe uma relação entre a aceleração linear do centro de massa ($ a a çã \alpha $) devido à rotação. A condição de rolamento sem deslizamento é dada por:
alpha
Além disso, o torque causado pela força de atrito faz a bola girar. O torque ($ \tau $) é:
a = alpha R
E o torque também está relacionado ao momento de inércia ($ I $) e à aceleração angular:
tau

Passo 4

Para uma bola maciça e homogênea, o momento de inércia em relação ao eixo central é:
I = 25 m R^2
Substituindo o torque:
f R = 25 m R^2 cdot alpha
Usando a condição de rolamento ($ a = \alpha R $):
a = alpha R

Passo 5

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para a transladação do centro de massa da bola. As forças paralelas ao plano são $ P_{\parallel} $ puxando a bola para baixo e a força de atrito $ f $ puxando para cima. Então:
Pparal<=l
Substituindo $ f = \frac{2}{5} m a $:
f

Passo 6

Vamos resolver para $ a $:
a
mg sin varphi = m a + 25 m a Rightarrow mg sin varphi = 75 m a

Passo 7

Agora que temos $ a $, podemos encontrar a força de atrito $ f $:
a

Resposta

A força de atrito é $ f = \frac{2}{7} m g \sin \varphi $ e a aceleração do centro de massa é $ a = \frac{5}{7} g \sin \varphi $.

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