Uma bola de boliche, de massa M e raio R, é lançada no nível da pista, de forma a iniciar um movimento horizontal sem rolamento, com a rapidez v0^2=5,0 m / s. O coeficiente de atrito cinético entre a bola e o piso é muc=0,080. Determine (a) o tempo que a bola leva derrapando na pista (após o qual ela passa a rolar sem deslizar) e (b) a distância na qual ela derrapa.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma bola de boliche com massa $ M $ e raio $ R $ que é lançada horizontalmente com uma velocidade inicial $ v_0 = \sqrt{5,0} , m/s $ sem começar a rolar. O coeficiente de atrito cinético entre a bola e a pista é $ \mu_c = 0,080 $. Precisamos encontrar:
(a) O tempo que a bola leva para parar de derrapar e começar a rolar sem deslizar.
(b) A distância que a bola percorre enquanto está derrapando.
Para resolver, vamos usar conceitos de cinemática, dinâmica do movimento de rotação e atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que enquanto a bola está derrapando, há uma força de atrito agindo na direção oposta ao movimento. Essa força de atrito causa uma desaceleração na velocidade linear da bola e também um torque que faz a bola começar a girar.
A força de atrito é dada por:
Fatrito = muc cdot N
Onde $ N = M \cdot g $ é a força normal, com $ g = 9,8 , m/s^2 $ sendo a aceleração da gravidade.

Passo 3

Vamos calcular a força de atrito:
Fatrito = muc cdot M cdot g = 0,080 cdot M cdot 9,8 approx 0,784 cdot M , N
Essa força causa uma aceleração negativa na velocidade linear:
a = FatritoM = 0,784 cdot MM = 0,784 , m/s^2
Então, a aceleração da bola é $ a = 0,784 , m/s^2 $ na direção oposta ao movimento.

Passo 4

Agora, vamos considerar o torque causado pela força de atrito, que faz a bola girar. O torque $ \tau $ é dado por:
tau
Esse torque gera uma aceleração angular $ \alpha $:
tau = Fatrito cdot R = muc cdot M cdot g cdot R
Onde $ I $ é o momento de inércia da bola. Para uma esfera sólida, $ I = \frac{2}{5} M R^2 $.

Passo 5

Substituindo $ I $ na equação do torque:
I
Simplificando os termos:
muc cdot M cdot g cdot R = 25 M R^2 cdot alpha
Portanto, a aceleração angular é:
alpha = 5 muc g2 R

Passo 6

Para a bola começar a rolar sem deslizar, a condição é que a velocidade linear $ v $ seja igual à velocidade angular vezes o raio:
v
Como a bola está desacelerando com $ a $ e acelerando angularmente com $ \alpha $, temos:
v = omega cdot R
a
Igualando as duas para encontrar o tempo $ t $ em que a rolagem sem deslizamento começa:
alpha
v(t) = v0 - a t
omega(t) = alpha t

Passo 7

Substituindo os valores de $ a $ e $ \alpha $:
a
Calculando $ \sqrt{5,0} $:
alpha
Então:
t = raiz5,00,784 + (1,96R) R = raiz5,00,784 + 1,96 = raiz5,02,744

Passo 8

Agora, vamos calcular a distância percorrida enquanto a bola está derrapando. Usamos a equação da posição com aceleração:
s = v0 t - 12 a t^2
Substituindo os valores:
s = 2,236 cdot 0,815 - 12 cdot 0,784 cdot (0,815)^2
Calculando cada termo:
s approx 1,824 - 0,5 cdot 0,784 cdot 0,664 approx 1,824 - 0,261 approx 1,563 , m

Resposta

(a) O tempo que a bola leva para parar de derrapar é aproximadamente $ 0,815 , s $.
(b) A distância percorrida enquanto a bola derrapa é aproximadamente $ 1,56 , m $.

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