Uma bola de boliche, de massa M e raio R, é lançada no nível da pista, de forma a iniciar um movimento horizontal sem rolamento, com a rapidez
. O coeficiente de atrito cinético entre a bola e o piso é
. Determine (a) o tempo que a bola leva derrapando na pista (após o qual ela passa a rolar sem deslizar) e (b) a distância na qual ela derrapa.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma bola de boliche com massa $ M $ e raio $ R $ que é lançada horizontalmente com uma velocidade inicial $ v_0 = \sqrt{5,0} , m/s $ sem começar a rolar. O coeficiente de atrito cinético entre a bola e a pista é $ \mu_c = 0,080 $. Precisamos encontrar:
(a) O tempo que a bola leva para parar de derrapar e começar a rolar sem deslizar.
(b) A distância que a bola percorre enquanto está derrapando.
(b) A distância que a bola percorre enquanto está derrapando.
Para resolver, vamos usar conceitos de cinemática, dinâmica do movimento de rotação e atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que enquanto a bola está derrapando, há uma força de atrito agindo na direção oposta ao movimento. Essa força de atrito causa uma desaceleração na velocidade linear da bola e também um torque que faz a bola começar a girar.
A força de atrito é dada por:
Onde $ N = M \cdot g $ é a força normal, com $ g = 9,8 , m/s^2 $ sendo a aceleração da gravidade.
Passo 3
Vamos calcular a força de atrito:
Essa força causa uma aceleração negativa na velocidade linear:
Então, a aceleração da bola é $ a = 0,784 , m/s^2 $ na direção oposta ao movimento.
Passo 4
Agora, vamos considerar o torque causado pela força de atrito, que faz a bola girar. O torque $ \tau $ é dado por:
Esse torque gera uma aceleração angular $ \alpha $:
Onde $ I $ é o momento de inércia da bola. Para uma esfera sólida, $ I = \frac{2}{5} M R^2 $.
Passo 5
Substituindo $ I $ na equação do torque:
Simplificando os termos:
Portanto, a aceleração angular é:
Passo 6
Para a bola começar a rolar sem deslizar, a condição é que a velocidade linear $ v $ seja igual à velocidade angular vezes o raio:
Como a bola está desacelerando com $ a $ e acelerando angularmente com $ \alpha $, temos:
Igualando as duas para encontrar o tempo $ t $ em que a rolagem sem deslizamento começa:
Passo 7
Substituindo os valores de $ a $ e $ \alpha $:
Calculando $ \sqrt{5,0} $:
Então:
Passo 8
Agora, vamos calcular a distância percorrida enquanto a bola está derrapando. Usamos a equação da posição com aceleração:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Resposta
(a) O tempo que a bola leva para parar de derrapar é aproximadamente $ 0,815 , s $.
(b) A distância percorrida enquanto a bola derrapa é aproximadamente $ 1,56 , m $.