a) Uma bola maciça e homogênea, de massa m e raio R, desce rolando um plano inclinado de um ângulo
, sem deslizar. Determine a força de atrito e a aceleração do centro de massa. b) Se no lugar da bola maciça tivéssemos uma esfera ou o cilindro maciço, todos com mesma massa e mesmo raio, qual deles chegaria primeiro ao solo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma bola maciça e homogênea rolando sem deslizar por um plano inclinado. Vamos precisar usar conceitos de dinâmica de rotação, como torque, momento de inércia e as relações entre força de atrito e aceleração. Também vamos comparar com outros objetos como esfera e cilindro para ver qual chega primeiro ao solo.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o diagrama de forças que atuam na bola enquanto ela desce o plano inclinado. Temos:
- O peso da bola, $ \vec{P} = m\vec{g} $, que atua para baixo.
- A força normal, $ \vec{N} $, perpendicular ao plano inclinado.
- A força de atrito estática, $ \vec{f}_a $, que impede o deslizamento e faz a bola rolar.
Passo 3
Vamos decompor o peso da bola em duas componentes:
- Paralela ao plano inclinado: $ P_{\parallel} = mg \sin\varphi $
- Perpendicular ao plano inclinado: $ P_{\perp} = mg \cos\varphi $
A força normal $ N $ equilibra a componente perpendicular do peso, então:
Passo 4
Como a bola está rolando sem deslizar, há rotação pura. A relação entre a aceleração linear $ a $ do centro de massa e a aceleração angular $ \alpha $ é:
O torque $ \tau $ causado pela força de atrito é:
E, de acordo com a segunda lei de Newton para rotação:
Onde $ I $ é o momento de inércia da bola.
Passo 5
Para uma bola maciça e homogênea, o momento de inércia é:
Substituindo na equação do torque:
Usando $ a = R\alpha $, temos:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton na direção paralela ao plano:
Substituindo $ f_a $ da equação anterior:
Passo 7
Vamos resolver para $ a $:
Passo 8
Agora, voltando para a força de atrito $ f_a $:
Passo 9
Para a parte b), queremos saber qual objeto chega primeiro ao solo. A aceleração $ a $ depende do momento de inércia $ I $. Quanto menor for $ I $, maior será a aceleração. Comparando os momentos de inércia:
- Esfera sólida: $ I = \frac{2}{5} m R^2 $
- Cilindro sólido: $ I = \frac{1}{2} m R^2 $
- Bola maciça (nosso caso inicial): $ I = \frac{2}{5} m R^2 $
A esfera e a bola têm o mesmo $ I $, então terão a mesma aceleração, enquanto o cilindro tem um $ I $ maior, resultando em uma aceleração menor.
Resposta
a) A força de atrito é $ f_a = \frac{2}{7} m g \sin\varphi $ e a aceleração do centro de massa é $ a = \frac{5}{7} g \sin\varphi $.
b) A bola maciça e a esfera chegam ao solo ao mesmo tempo, sendo ambas mais rápidas que o cilindro maciço.