1. Uma casca esférica (bola, ICE=2 / 3 cdot MCE cdot RCE ^2 ) está no alto de um plano de 20 m de extensão, inclinado em 7^circ em relação ao horizonte. A bola tem 50 g e RCE=30 cm e sendo largada, desce o plano sem deslizar. Calcule:
    a) a velocidade escalar da bola no final do plano;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A gente está lidando com um problema de mecânica, especificamente com movimento rotacional de uma esfera rolando sem deslizar por um plano inclinado. A bola tem massa de 50 g, raio de 30 cm, e está descendo um plano inclinado de 20 metros de comprimento e 7 graus em relação ao chão. Precisamos calcular a velocidade da bola no final do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
  • Massa (m): 50 g = 0,05 kg
  • Raio ®: 30 cm = 0,3 m
  • Comprimento do plano (L): 20 m
  • Ângulo de inclinação (θ): 7°

Passo 3

Para calcular a velocidade final da bola que está rolando sem deslizar, vamos usar o Princípio da Conservação da Energia Mecânica. A energia potencial gravitacional no topo será convertida em energia cinética de translação e rotacional na base.
A energia potencial inicial (E_p) é dada por:
Ep = m cdot g cdot h
A energia cinética final (E_k) é a soma da energia cinética de translação e rotacional:
Ek = 12 m v^2 + 12 I omega^2
Onde:
  • $ v $ é a velocidade linear
  • $ \omega $ é a velocidade angular
  • $ I $ é o momento de inércia

Passo 4

Como a bola está rolando sem deslizar, temos a relação entre a velocidade linear e angular:
v = omega cdot R
omega = vR
Substituindo $ \omega $ na equação de energia cinética:
omega

Passo 5

Sabemos que o momento de inércia para uma casca esférica (bola) é:
I = 23 m R^2
Substituindo $ I $ na equação de $ E_k $:
I
Ek
Ek = 12 m v^2 + 12 ( 23 m R^2 ) ( vR )^2
Ek = 12 m v^2 + 12 cdot 23 m cdot v^2
Ek = 12 m v^2 + 13 m v^2

Passo 6

Aplicando a conservação da energia (E_p = E_k):
m cdot g cdot h = 56 m v^2
Podemos cancelar a massa (m) dos dois lados:
g cdot h = 56 v^2

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a altura (h) do plano inclinado. Sabemos que:
sin(theta) = hL
h = L cdot sin(theta)
Substituindo os valores:
h = 20 cdot sin(7°)
h approx 20 cdot 0,12187
h approx 2,4374 , m

Passo 8

Voltando à equação da energia:
g cdot h = 56 v^2
v^2 = 65 g h
v = raiz 65 cdot g cdot h
Substituindo os valores:
v = raiz 65 cdot 9,81 cdot 2,4374
v = raiz 65 cdot 23,888
v = raiz 28,666
v approx 5,35 , m/s

Resposta

A velocidade escalar da bola no final do plano é aproximadamente 5,35 metros por segundo.

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