- Uma casca esférica (bola,
) está no alto de um plano de 20 m de extensão, inclinado em
em relação ao horizonte. A bola tem 50 g e
e sendo largada, desce o plano sem deslizar. Calcule:
a) a velocidade escalar da bola no final do plano;
a) a velocidade escalar da bola no final do plano;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A gente está lidando com um problema de mecânica, especificamente com movimento rotacional de uma esfera rolando sem deslizar por um plano inclinado. A bola tem massa de 50 g, raio de 30 cm, e está descendo um plano inclinado de 20 metros de comprimento e 7 graus em relação ao chão. Precisamos calcular a velocidade da bola no final do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
- Massa (m): 50 g = 0,05 kg
- Raio ®: 30 cm = 0,3 m
- Comprimento do plano (L): 20 m
- Ângulo de inclinação (θ): 7°
Passo 3
Para calcular a velocidade final da bola que está rolando sem deslizar, vamos usar o Princípio da Conservação da Energia Mecânica. A energia potencial gravitacional no topo será convertida em energia cinética de translação e rotacional na base.
A energia potencial inicial (E_p) é dada por:
A energia cinética final (E_k) é a soma da energia cinética de translação e rotacional:
Onde:
- $ v $ é a velocidade linear
- $ \omega $ é a velocidade angular
- $ I $ é o momento de inércia
Passo 4
Como a bola está rolando sem deslizar, temos a relação entre a velocidade linear e angular:
Substituindo $ \omega $ na equação de energia cinética:
Passo 5
Sabemos que o momento de inércia para uma casca esférica (bola) é:
Substituindo $ I $ na equação de $ E_k $:
Passo 6
Aplicando a conservação da energia (E_p = E_k):
Podemos cancelar a massa (m) dos dois lados:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a altura (h) do plano inclinado. Sabemos que:
Substituindo os valores:
Passo 8
Voltando à equação da energia:
Substituindo os valores:
Resposta
A velocidade escalar da bola no final do plano é aproximadamente 5,35 metros por segundo.