Uma barra fina uniforme (massa =0,50 kg ) oscila em torno de um eixo que passa por uma das extremidades da barra e é perpendicular ao plano de oscilação. A barra oscila com um período de 1,5 s e uma amplitude angular de 10^circ. (a) Qual é o comprimento da barra? (b) Qual é a energia cinética máxima da barra? (Momento de inércia da barra no centro de massa: IC M=112 M L^2 ). R: (a) 0,84 m; (b) 0,031 J.

Passo 1

O enunciado descreve uma barra fina e uniforme de massa M=0,50 kg que oscila como pêndulo físico em torno de um eixo na extremidade. O período de pequenas oscilações é T=1,5 s e a amplitude angular máxima é theta0=10^circ. Precisamos achar (a) o comprimento L da barra e (b) a energia cinética máxima Kmax. Vamos usar a teoria de pêndulo físico (momento de inércia e período de pequenas oscilações) e conservação de energia (energia potencial vira cinética no ponto de passagem pelo equilíbrio).

Passo 2

O momento de inércia em relação ao pivô (uma extremidade) é dado pelo teorema de Steiner:
I = ICM + Ml(L2r)^2 = 112M L^2 + 14M L^2 = 13M L^2
Para pequenas oscilações, o período satisfaz
T = 2piraizIM g dcm,
onde dcm=L/2 é a distância do pivô ao centro de massa.

Passo 3

Substituindo I e dcm em T:
T = 2piraiztfrac13M L^2M g ,(L/2) = 2piraiz2L3g
Isolando L:
l(T2pir)^2 = 2L3g Longrightarrow L = 3g2l(T2pir)^!2
Numericamente, com g=9,8 m/s^2 e T=1,5 s,
L approx 0,84 m

Passo 4

A energia mecânica total numa oscilação pequena fica
E = 12kappa,theta0^2,
onde a “constante de torção” eficaz é kappa = M g dcm = M g,(L/2). Logo
E = 12l(Mg,tfracL2r)theta0^2 = 14M g L,theta0^2
Em cada oscilação, essa energia potencial máxima converte-se em energia cinética máxima Kmax=E.

Passo 5

Usando M=0,50 kg, g=9,8 m/s^2, L=0,84 m e theta0=10^circ=tfracpi18 rad,
Kmax = 14,(0,50)(9,8)(0,84)l(pi18r)^!2 approx 0,031 J

Resposta

(a) L=0,84 m
(b) Kmax=0,031 J

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