Dois pêndulos possuem as mesmas dimensões (comprimento L ) e massa total ( m ). O pêndulo A é uma esfera bem pequena oscilando na extremidade de uma barra uniforme de massa desprezível. No pêndulo B, metade da massa pertence à bola e a outra metade à barra uniforme Encontre o período de cada pêndulo para oscilações pequenas. Qual dos dois pêndulos leva mais tempo para completar uma oscilação? (I da Barra =13 M L^2, I da esfera =M L^2; momento de inércia das barra e da esfera no pivô, respectivamente) R: TA=2 pi raizL / g ; TB= (4 pi^raiz2 / 3) raizL / g=0,943 TA; pêndulo A.

Passo 1

O enunciado descreve dois pêndulos físicos de comprimento L e massa total m, porém com distribuições de massa diferentes. Para pequenas oscilações, usamos a fórmula do período de um pêndulo físico:
T = 2pi raizIm g d
onde I é o momento de inércia em relação ao pivô e d a distância do pivô ao centro de massa.

Passo 2

Para o pêndulo A temos toda a massa concentrada na esfera na extremidade:
IA = mL^2, dA = L
Logo
TA = 2pi raizIAm g dA = 2pi raizmL^2m g L = 2pi raizLg

Passo 3

No pêndulo B metade da massa está na esfera e metade na barra uniforme. Assim
mesfera=m2, mbarra=m2,
Iesfera =m2,L^2, Ibarra =13,m2,L^2 =mL^26,
IB =Iesfera+Ibarra =mL^22+mL^26 =23,mL^2
O centro de massa fica em
dB =m2,L + m2,L2m =3L4
Portanto
TB =2pi raizIBm g dB =2pi raiz23mL^2m g ,3L4 =2pi raiz8L9g =4piraiz23,raizLg

Passo 4

Comparando com TA=2piraizL/g, temos
TBTA =4piraiz23raiztfracLg2piraiztfracLg =2raiz23approx0,943
Assim TB<TA, logo o pêndulo A leva mais tempo para completar uma oscilação.

Resposta

TA = 2piraizdfracLg
TB = 4piraiz23raizLgapprox0,943,TA
O pêndulo A é o mais lento.

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