Uma barra isolante eletricamente carregada, com um comprimento de
uma seção reta de
, está no semieixo
positivo com uma das extremidades na origem. A densidade volumétrica de carga
, cuja unidade no SI é o coulomb por metro cúbico, é a carga por unidade de volume. Determine quantos elétrons em excesso existem na barra (a) se
é uniforme, com um valor de
; (b) se o valor de
é dado pela equação
, em que
. (c) Calcule o Campo elétrico no eixo longitudinal a uma distância
da extremidade direita da barra, para as densidades dos itens (a) e (b).(coloque a origem dos espaços na extremidade direita.)
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma barra isolante de comprimento L = 2,00 m e seção A = 4,00 cm² = 4,00×10⁻⁴ m², carregada com densidade volumétrica ρ(x). O exercício (que é de eletrostática) pede:
(a) quantos elétrons em excesso existem se ρ é constante e vale –4,00 μC/m³;
(b) o mesmo, mas ρ(x)=b x² com b=–2,00 μC/m⁵;
(c) o campo elétrico ao longo do eixo, num ponto que fica a uma distância a da ponta direita da barra (colocando aí a origem), para os dois casos de ρ.
Para resolver precisamos lembrar que:
(a) quantos elétrons em excesso existem se ρ é constante e vale –4,00 μC/m³;
(b) o mesmo, mas ρ(x)=b x² com b=–2,00 μC/m⁵;
(c) o campo elétrico ao longo do eixo, num ponto que fica a uma distância a da ponta direita da barra (colocando aí a origem), para os dois casos de ρ.
Para resolver precisamos lembrar que:
- carga total Q = ∫ ρ dV (para ρ constante Q=ρ V);
- número de elétrons em excesso N = |Q|/e, com e = 1,602×10⁻¹⁹ C;
- campo elétrico de uma distribuição volumétrica E = ∫(1/(4πε₀)) dq / r², usando dq = ρ dV e integrando ao longo do comprimento.
Passo 2
Item (a): ρ uniforme = –4,00 μC/m³ = –4,00×10⁻⁶ C/m³
- A carga total da barra é
- O número de elétrons em excesso é
Passo 3
Item (b): ρ(x)=b x², com b=–2,00 μC/m⁵ = –2,00×10⁻⁶ C/m⁵
- A carga total vem de
Substituindo L=2,00 m, A=4,00×10⁻⁴ m², b=–2,00×10⁻⁶ C/m⁵:
- Então
Passo 4
Item (c): campo elétrico E num ponto P a uma distância a da extremidade direita, colocando ali a origem x=0 e a barra indo de x=–L até x=0.
Forma geral:
Forma geral:
Então
sempre apontando no eixo x.
(a) Para ρ constante:
(b) Para ρ(x)=b x’²: usar a primitiva
avaliar de x’=–L a x’=0 e colocar em
resultando em
Resposta
(a) N = 2,00×10¹⁰ elétrons em excesso.
(b) N = 1,33×10¹⁰ elétrons em excesso.
(c) Campo elétrico a distância a da ponta direita:
• ρ constante:
(b) N = 1,33×10¹⁰ elétrons em excesso.
(c) Campo elétrico a distância a da ponta direita:
• ρ constante:
• ρ(x)=b x²: