Uma barra isolante eletricamente carregada, com um comprimento de 2,00 m e uma seção reta de 4,00 cm^2, está no semieixo x positivo com uma das extremidades na origem. A densidade volumétrica de carga rho, cuja unidade no SI é o coulomb por metro cúbico, é a carga por unidade de volume. Determine quantos elétrons em excesso existem na barra (a) se rho é uniforme, com um valor de -4,00 mu C / m^3; (b) se o valor de rho é dado pela equação rho=b x^2, em que b=- 2,00 mu C / m^5. (c) Calcule o Campo elétrico no eixo longitudinal a uma distância a da extremidade direita da barra, para as densidades dos itens (a) e (b).(coloque a origem dos espaços na extremidade direita.)

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma barra isolante de comprimento L = 2,00 m e seção A = 4,00 cm² = 4,00×10⁻⁴ m², carregada com densidade volumétrica ρ(x). O exercício (que é de eletrostática) pede:
(a) quantos elétrons em excesso existem se ρ é constante e vale –4,00 μC/m³;
(b) o mesmo, mas ρ(x)=b x² com b=–2,00 μC/m⁵;
(c) o campo elétrico ao longo do eixo, num ponto que fica a uma distância a da ponta direita da barra (colocando aí a origem), para os dois casos de ρ.
Para resolver precisamos lembrar que:
  1. carga total Q = ∫ ρ dV (para ρ constante Q=ρ V);
  2. número de elétrons em excesso N = |Q|/e, com e = 1,602×10⁻¹⁹ C;
  3. campo elétrico de uma distribuição volumétrica E = ∫(1/(4πε₀)) dq / r², usando dq = ρ dV e integrando ao longo do comprimento.

Passo 2

Item (a): ρ uniforme = –4,00 μC/m³ = –4,00×10⁻⁶ C/m³
  1. A carga total da barra é
Q ;=; rho,V ;=;rho,(A,L);=;(-4,00times10^-6),(4,00times10^-4cdot 2,00)
=;-4,00times10^-6times8,00times10^-4 ;=;-3,20times10^-9 C
  1. O número de elétrons em excesso é
N ;=;|Q|e ;=;3,20times10^-91,602times10^-19 ;approx;2,00times10^10

Passo 3

Item (b): ρ(x)=b x², com b=–2,00 μC/m⁵ = –2,00×10⁻⁶ C/m⁵
  1. A carga total vem de
Q ;=;integral0^L!ρ(x),A,dx ;=;A,integral0^Lb,x^2,dx ;=;A,b,L^33
Substituindo L=2,00 m, A=4,00×10⁻⁴ m², b=–2,00×10⁻⁶ C/m⁵:
Q ;=;(4,00times10^-4),(-2,00times10^-6),(2,00)^33 ;=;-2,13times10^-9 C
  1. Então
N ;=;|Q|e ;=;2,13times10^-91,602times10^-19 ;approx;1,33times10^10

Passo 4

Item (c): campo elétrico E num ponto P a uma distância a da extremidade direita, colocando ali a origem x=0 e a barra indo de x=–L até x=0.
Forma geral:
dE = 14pivarepsilon0,dqr^2 , dq = rho(x'),A,dx' , r = a - x'
Então
E = 14pivarepsilon0,Aintegral-L^0rho(x'),dx'(a - x')^2,
sempre apontando no eixo x.
(a) Para ρ constante:
Erm uni =rho,A4pivarepsilon0 integral-L^0dx'(a - x')^2 =rho,A4pivarepsilon0l[1a-1a+Lr]
(b) Para ρ(x)=b x’²: usar a primitiva
integralx'^2(a - x')^2dx' =a^2a - x'+2aln(a - x')-a+x',
avaliar de x’=–L a x’=0 e colocar em
Erm var =b,A4pivarepsilon0lF(0)-F(-L)r,
resultando em
Erm var =b,A4pivarepsilon0 l[,2aln!aa+L ;+;(a+L);-;a^2a+Lr]

Resposta

(a) N = 2,00×10¹⁰ elétrons em excesso.
(b) N = 1,33×10¹⁰ elétrons em excesso.
(c) Campo elétrico a distância a da ponta direita:
• ρ constante:
Erm uni =rho,A4pivarepsilon0l(1a-1a+2,00r),hat x
• ρ(x)=b x²:
Erm var =b,A4pivarepsilon0 l[,2aln!aa+2,00 +(a+2,00)-a^2a+2,00r];hat x

Exercícios relacionados