• Uma esfera sólida isolante de raio a tem uma distribuição uniforme de carga rho em todo o volume. Calcule o campo elétrico em função da distância r, medida a partir do centro da esfera: (i) dentro da esfera ( r<a ) e (ii) fora da esfera ( r>a ). Represente graficamente o campo elétrico em função de r.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico gerado por uma esfera sólida isolante de raio a com carga volumétrica uniforme rho.
Conteúdo: eletrostática, Lei de Gauss.
O que vamos usar: simetria esférica e Gauss, ou seja, uma superfície gaussiana esférica centrada na esfera.

Passo 2

Por simetria, o campo elétrico é radial: E(r)=E(r),hat r.
A Lei de Gauss diz que, para uma superfície fechada S,
ointSEcdot dA=Qrm intvarepsilon0
Escolhemos S como a esfera de raio r.

Passo 3

Para r<a (dentro da esfera), a carga contida na superfície gaussiana é
Qrm int=rhocdot(volume de raio r) =rho;43pi r^3
O fluxo é
ointSE(r),dA =E(r),4pi r^2
e pela Lei de Gauss
E(r),4pi r^2 =rho,43pi r^3varepsilon0
Logo
E(r)=rho,r3varepsilon0, (r<a)

Passo 4

Para r>a (fora da esfera), toda a carga total da esfera está dentro da superfície gaussiana:
Qrm tot =rho;43pi a^3
Então
E(r),4pi r^2 =Qrm totvarepsilon0 =rho,43pi a^3varepsilon0,
e
E(r) =rho,a^33varepsilon0,r^2, (r>a)

Passo 5

Gráfico qualitativo de E(r) versus r:
  • Para 0<= r<= a, E(r) cresce linearmente desde E(0)=0 até
    E(a)=rho,a3varepsilon0.
  • Para r>= a, E(r) decai como 1/r^2, passando por
    E(a)=rho,a3varepsilon0 e caindo para zero à medida que rtoinfty.

Resposta

E(r)= rho,r3varepsilon0,& r<a,[1em] rho,a^33varepsilon0,r^2,& r>a
Gráfico: crescimento linear até r=a, depois decaimento 1/r^2.]

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