Uma barra lateralmente isolada de comprimento 10 cm , área de seção transversal de 1 \mathrm{~cm}^{2}, densidade 10,6 \mathrm{gm} / \mathrm{cm}^{3}, condutividade térmica 1,04 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{cm} \mathrm{s}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) e calor específico de 0,056 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{gm}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) (esses dados correspondem à prata, um bom condutor de calor) tem uma temperatura inicial f(x) e é mantida a 0^{\circ} \mathrm{C} nas extremidades x=0 e x=10. Encontre a temperatura u(x, t) em instantes posteriores. Aqui, f(x) é igual a:
f(x)=1-0,2|x-5|

Passo 1

O enunciado fornece uma barra (um teto fino, 1D) com comprimento 10 cm, isolada lateralmente, com as seguintes propriedades físicas:
\text{área de seção: }1\\ \mathrm{cm}^2,\quad \text{densidade: }10,6\\ \mathrm{g/cm^3},\quad \text{condutividade térmica: }1,04\\ \mathrm{cal/(cm\\ s\\ ^\circ C)},\quad \text{calor específico: }0,056\\ \mathrm{cal/(g\\ ^\circ C)}.áçãéí
As extremidades são mantidas a 0^\circ\mathrm{C} em x=0 e x=10. A temperatura inicial ao longo da barra é
f(x)=1-0,2|x-5|,\qquad 0\le x\le 10.
O que o problema pede: encontrar a temperatura u(x,t) para t>0 (isto é, resolver a evolução térmica com essas condições iniciais e de contorno).

Passo 2

Modelo físico e parâmetro de difusão térmica. Para uma barra homogênea e lateralmente isolada a equação que governa a temperatura u(x,t) é a equação do calor unidimensional:
u_t=\alpha\,u_{xx},
onde \alpha é a difusividade térmica dada por
\alpha=\frac{\text{condutividade térmica}}{\text{densidade}\times\text{calor específico}} =\frac{1,04}{10,6\cdot 0,056}.éí
Calculemos \alpha passo a passo:
10,6\cdot 0,056=0,5936,
\alpha=\frac{1,04}{0,5936}\approx 1,752\quad(\mathrm{cm^2/s}).
As condições de contorno são
u(0,t)=0,\qquad u(10,t)=0,
e a condição inicial é
u(x,0)=f(x)=1-0,2|x-5|.

Passo 3

Método de resolução (separação de variáveis) — ideia e formas gerais. Procuramos soluções pela soma de modos eigenfuncionais do problema de contorno. Pelo método padrão, a solução geral com u(0,t)=u(10,t)=0 tem a forma de série de senos:
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty b_n e^{-\alpha \lambda_n t} X_n(x),
onde X_n(x) são as autofunções do problema espacial e \lambda_n os autovalores. Para o intervalo [0,10] com contorno de Dirichlet, as autofunções e autovalores são
X_n(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{10}\right),\qquad \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{10}\right)^2,\quad n=1,2,\dots
Logo a forma da solução é
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty b_n \exp\!\left(-\alpha\left(\frac{n\pi}{10}\right)^2 t\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{10}\right).

Passo 4

Fórmula dos coeficientes b_n (expansão em série de Fourier seno). Os coeficientes são obtidos pela expansão da condição inicial em senos e pela ortogonalidade:
b_n=\frac{2}{10}\int_{0}^{10} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{10}\right)\,dx =\frac{1}{5}\int_{0}^{10} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{10}\right)\,dx.
Agora precisamos calcular essa integral explicitamente para f(x)=1-0,2|x-5|.

Passo 5

Cálculo da integral dos coeficientes explorando a simetria. Faço a mudança de variável centralizando em x=5: seja y=x-5, assim y\in[-5,5] e f(x)=1-0,2|y|. Escrevo
I_n:=\int_{0}^{10} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{10}\right)\,dx =\int_{-5}^{5} (1-0,2|y|)\sin\!\left(\frac{n\pi(5+y)}{10}\right)\,dy.
Use a identidade de soma no argumento do seno:
\sin\!\left(\frac{n\pi(5+y)}{10}\right) =\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}+ \frac{n\pi y}{10}\right) =\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi y}{10}\right) +\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi y}{10}\right).
Observe que 1-0,2|y| é função par em y. O produto de uma função par com \sin\!\left(\frac{n\pi y}{10}\right) (função ímpar) integra a zero sobre [-5,5]. Portanto só sobrevive o termo que envolve \cos\!\left(\frac{n\pi y}{10}\right). Assim
I_n=\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\int_{-5}^{5}(1-0,2|y|)\cos\!\left(\frac{n\pi y}{10}\right)\,dy.
Como o integrando agora é par, passo para o integral em 0 a 5:
I_n=2\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\int_{0}^{5}(1-0,2y)\cos\!\left(\frac{n\pi y}{10}\right)\,dy.

Passo 6

Avaliação do integral e simplificação. Defina a=\dfrac{n\pi}{10}. Calcule
J:=\int_{0}^{5}(1-0,2y)\cos(ay)\,dy =\int_{0}^{5}\cos(ay)\,dy-0,2\int_{0}^{5}y\cos(ay)\,dy.
Compute as integrais separadamente:
\int_{0}^{5}\cos(ay)\,dy=\frac{\sin(5a)}{a}.
Integração por partes para \int_{0}^{5}y\cos(ay)\,dy:
\int_{0}^{5}y\cos(ay)\,dy=\left.\frac{y\sin(ay)}{a}\right|_{0}^{5}+\left.\frac{\cos(ay)}{a^2}\right|_{0}^{5} =\frac{5\sin(5a)}{a}+\frac{\cos(5a)-1}{a^2}.
Substituindo em J:
J=\frac{\sin(5a)}{a}-0,2\left(\frac{5\sin(5a)}{a}+\frac{\cos(5a)-1}{a^2}\right).
Observe que 0,2\cdot 5=1, então os termos com \sin(5a) se cancelam:
J= -0,2\cdot\frac{\cos(5a)-1}{a^2} = 0,2\cdot\frac{1-\cos(5a)}{a^2}.
Voltando a I_n:
I_n=2\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\,J =2\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cdot 0,2\cdot\frac{1-\cos(5a)}{a^2} =0,4\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\frac{1-\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{a^2},
pois 5a=\dfrac{n\pi}{2}. Lembre que
b_n=\frac{1}{5}I_n,
portanto
b_n=\frac{0,4}{5}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\frac{1-\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{a^2} =0,08\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\frac{1-\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{a^2}.
Substituindo a^2=\dfrac{n^2\pi^2}{100} (pois a=\dfrac{n\pi}{10}):
b_n=0,08\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\left(1-\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right)\frac{100}{n^2\pi^2} =\frac{8}{\pi^2 n^2}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\left(1-\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right).

Passo 7

Simplificação por casos (paridade de n). Note que para n par temos \sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0, então b_n=0 para todo n par. Para n ímpar escrevemos n=2k+1. Usando os valores padrão:
\sin\!\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=(-1)^k,\qquad \cos\!\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)=0,
logo para n=2k+1
b_{2k+1}=\frac{8}{\pi^2(2k+1)^2}(-1)^k.
Portanto a solução final — somando apenas os modos ímpares — é
u(x,t)=\sum_{k=0}^\infty \frac{8(-1)^k}{\pi^2(2k+1)^2}\exp\!\left(-\alpha\left(\frac{(2k+1)\pi}{10}\right)^2 t\right)\sin\!\left(\frac{(2k+1)\pi x}{10}\right),
com \alpha=\dfrac{1,04}{10,6\cdot0,056}\approx 1,752\\ \mathrm{cm^2/s}.

Passo 8

Resumo prático e uma palavra amiga: o processo foi o padrão — escrever a solução como série de senos (porque as extremidades estão a zero), determinar os coeficientes pela expansão da condição inicial e aproveitar simetrias para simplificar a integral. Só aparecem os modos ímpares e os coeficientes decaem como 1/(2k+1)^2, o que garante convergência rápida. Você consegue usar essa fórmula na prova: memorize a forma geral da série, o cálculo da integral pelo truque de centrar em x=5 e a observação da simetria que zera os termos pares. Vai dar certo — respira e bora praticar!

Resposta

\alpha=\frac{1,04}{10,6\cdot0,056}\approx 1,752
u(x,t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8(-1)^k}{\pi^{2}(2k+1)^{2}}\exp\!\left(-\alpha\left(\frac{(2k+1)\pi}{10}\right)^{2}t\right)\sin\!\left(\frac{(2k+1)\pi x}{10}\right)

Exercícios relacionados