Uma barra lateralmente isolada de comprimento 10 cm , área de seção transversal de 1 \mathrm{~cm}^{2}, densidade 10,6 \mathrm{gm} / \mathrm{cm}^{3}, condutividade térmica 1,04 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{cm} \mathrm{s}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) e calor específico de 0,056 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{gm}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) (esses dados correspondem à prata, um bom condutor de calor) tem uma temperatura inicial f(x) e é mantida a 0^{\circ} \mathrm{C} nas extremidades x=0 e x=10. Encontre a temperatura u(x, t) em instantes posteriores. Aqui, f(x) é igual a: f(x)=1-0,2|x-5|
Passo 1
O enunciado fornece uma barra (um teto fino, 1D) com comprimento 10 cm, isolada lateralmente, com as seguintes propriedades físicas:
As extremidades são mantidas a 0^\circ\mathrm{C} em x=0 e x=10. A temperatura inicial ao longo da barra é
f(x)=1-0,2|x-5|,\qquad 0\le x\le 10.
O que o problema pede: encontrar a temperatura u(x,t) para t>0 (isto é, resolver a evolução térmica com essas condições iniciais e de contorno).
Passo 2
Modelo físico e parâmetro de difusão térmica. Para uma barra homogênea e lateralmente isolada a equação que governa a temperatura u(x,t) é a equação do calor unidimensional:
Método de resolução (separação de variáveis) — ideia e formas gerais. Procuramos soluções pela soma de modos eigenfuncionais do problema de contorno. Pelo método padrão, a solução geral com u(0,t)=u(10,t)=0 tem a forma de série de senos:
onde X_n(x) são as autofunções do problema espacial e \lambda_n os autovalores. Para o intervalo [0,10] com contorno de Dirichlet, as autofunções e autovalores são
Fórmula dos coeficientes b_n (expansão em série de Fourier seno). Os coeficientes são obtidos pela expansão da condição inicial em senos e pela ortogonalidade:
Agora precisamos calcular essa integral explicitamente para f(x)=1-0,2|x-5|.
Passo 5
Cálculo da integral dos coeficientes explorando a simetria. Faço a mudança de variável centralizando em x=5: seja y=x-5, assim y\in[-5,5] e f(x)=1-0,2|y|. Escrevo
Observe que 1-0,2|y| é função par em y. O produto de uma função par com \sin\!\left(\frac{n\pi y}{10}\right) (função ímpar) integra a zero sobre [-5,5]. Portanto só sobrevive o termo que envolve \cos\!\left(\frac{n\pi y}{10}\right). Assim
Simplificação por casos (paridade de n). Note que para n par temos \sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0, então b_n=0 para todo n par. Para n ímpar escrevemos n=2k+1. Usando os valores padrão:
com \alpha=\dfrac{1,04}{10,6\cdot0,056}\approx 1,752\\ \mathrm{cm^2/s}.
Passo 8
Resumo prático e uma palavra amiga: o processo foi o padrão — escrever a solução como série de senos (porque as extremidades estão a zero), determinar os coeficientes pela expansão da condição inicial e aproveitar simetrias para simplificar a integral. Só aparecem os modos ímpares e os coeficientes decaem como 1/(2k+1)^2, o que garante convergência rápida. Você consegue usar essa fórmula na prova: memorize a forma geral da série, o cálculo da integral pelo truque de centrar em x=5 e a observação da simetria que zera os termos pares. Vai dar certo — respira e bora praticar!