Encontre a temperatura w(x, t) numa barra semi-infinita, lateralmente isolada e que se estende ao infinito ao longo do eixo x, supondo que a temperatura inicial seja 0, w(x, t) \rightarrow 0 quando x \rightarrow \infty para todo valor fixo de t \geq 0, e que w(0, t)=f(t). Proceda como se segue.
Elabore o modelo e mostre que a transformada de Laplace leva a
s W=c^{2} \frac{\partial^{2} W}{\partial x^{2}} \quad(W=\mathscr{L}\{w\})
e
W=F(s) e^{-\sqrt{s} x / c} \quad(F=\mathscr{L}\{f\})
Aplicando o teorema da convolução, mostre que
w(x, t)=\frac{x}{2 c \sqrt{\pi}} \int_{0}^{t} f(t-\tau) \tau^{-3 / 2} e^{-x^{2} /\left(4 c^{2} \tau\right)} d \tau

Passo 1

O enunciado pede a temperatura w(x,t)\) numa barra semi-infinita \(x\ge 0\), lateralmente isolada, que satisfaz as condições: \[\begin{cases} \text{(PDE)} & \dfrac{\partial w}{\partial t}=c^{2}\dfrac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}},\quad x>0,\; t>0,\\[6pt] \text{(condição inicial)} & w(x,0)=0\quad\text{para }x\ge 0,\\[6pt] \text{(condição no infinito)} & w(x,t)\to 0\text{ quando }x\to\infty\text{ para todo }t\ge0,\\[6pt] \text{(condição de contorno)} & w(0,t)=f(t)\quad\text{para }t\ge0. \end{cases}
As tarefas pedidas são: aplicar a transformada de Laplace em (t] para obter
sW=c^{2}\frac{\partial^{2}W}{\partial x^{2}}\quad\text{(com }W=\mathscr{L}\{w\}),
resolver essa equação para mostrar
W=F(s)e^{-\sqrt{s}\,x/c}\quad\text{(com }F=\mathscr{L}\{f\}),
e, finalmente, inverter a transformada usando a convolução para concluir que
w(x,t)=\frac{x}{2c\sqrt{\pi}}\int_{0}^{t} f(t-\tau)\,\tau^{-3/2}\,e^{-x^{2}/(4c^{2}\tau)}\,d\tau.]

Passo 2

Definimos a transformada de Laplace em t da função w(x,t) por
W(x,s)=\mathscr{L}\{w(x,t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st} w(x,t)\,dt,
e também F(s)=\mathscr{L}\{f(t)\}. Usamos a propriedade padrão da transformada de Laplace para derivada temporal:
\mathscr{L}\{\partial w/\partial t\}=sW(x,s)-w(x,0).
Como a condição inicial é w(x,0)=0, temos \mathscr{L}\{\partial w/\partial t\}=sW. Aplicando a transformada de Laplace na PDE \partial w/\partial t=c^{2}\partial^{2}w/\partial x^{2} obtemos
sW(x,s)=c^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}W(x,s).
Isso mostra a relação pedida:
sW=c^{2}\frac{\partial^{2}W}{\partial x^{2}}.

Passo 3

Agora tratamos a equação obtida como uma equação ordinária em x, com parâmetro s:
c^{2}W_{xx}-sW=0 \quad\Longleftrightarrow\quad W_{xx}-\frac{s}{c^{2}}W=0.
A equação característica é r^{2}-\dfrac{s}{c^{2}}=0, logo r=\pm \dfrac{\sqrt{s}}{c}. Portanto a solução geral é
W(x,s)=A(s)\,e^{\sqrt{s}\,x/c}+B(s)\,e^{-\sqrt{s}\,x/c},
onde A e B podem depender de s. Agora usamos as condições em x:
  • A condição no infinito exige que W(x,s) permaneça limitada quando x\to\infty. O termo e^{\sqrt{s}\,x/c} cresce com x (para \Re s>0), então devemos ter A(s)=0 para garantir decaimento. (Também corresponde ao fato físico de que a solução não explode para x\to\infty.)
  • A condição no contorno x=0 traduz-se em W(0,s)=F(s). Substituindo x=0 na forma geral com A=0 W(0,s)=B(s)=F(s).
Assim obtemos
W(x,s)=F(s)\,e^{-\sqrt{s}\,x/c},
que é exatamente a forma pedida.

Passo 4

Precisamos inverter a transformada de Laplace para obter w(x,t)=\mathscr{L}^{-1}\{W(x,s)\}. Escrevemos
W(x,s)=F(s)\,G(s),\qquad G(s)=e^{-a\sqrt{s}},\quad a:=\frac{x}{c}.
Pelo teorema da convolução, a inversa é a convolução temporal:
w(x,t)=(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(t-\tau)\,g(\tau)\,d\tau,
onde g(t)=\mathscr{L}^{-1}\{G(s)\}=\mathscr{L}^{-1}\{e^{-a\sqrt{s}}\}. Então só falta determinar explicitamente g(t).

Passo 5

Vamos calcular g(t)=\mathscr{L}^{-1}\{e^{-a\sqrt{s}}\} com a=x/c>0. Começamos lembrando a integral padrão
\int_{0}^{\infty} t^{-1/2} e^{-p t - q/t}\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{p}}\,e^{-2\sqrt{pq}},\qquad p>0,\;q>0,
que é um resultado clássico (pode ser obtido usando substituições ou fórmulas com funções de Bessel; aqui o importante é saber e usar essa identidade). Tomando p=s e q=a^{2}/4 obtemos
\int_{0}^{\infty} t^{-1/2} e^{-s t - a^{2}/(4t)}\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{s}}\,e^{-a\sqrt{s}}.
Isso significa que
\mathscr{L}\!\left\{t^{-1/2} e^{-a^{2}/(4t)}\right\}(s)=\sqrt{\frac{\pi}{s}}\,e^{-a\sqrt{s}}.
Agora derivamos em relação a a para obter uma potência diferente de t. Diferenciando as duas expressões em a (dentro do domínio de validade) temos, pelo lado do tempo,
\frac{\partial}{\partial a}\!\left(t^{-1/2} e^{-a^{2}/(4t)}\right)= -\frac{a}{2}\,t^{-3/2} e^{-a^{2}/(4t)},
e pelo lado da transformada
\frac{\partial}{\partial a}\!\left(\sqrt{\frac{\pi}{s}}\,e^{-a\sqrt{s}}\right) = -\sqrt{\pi}\,e^{-a\sqrt{s}}.
Igualando as transformadas dos dois lados e isolando a transformada de t^{-3/2}e^{-a^{2}/(4t)} obtemos
-\frac{a}{2}\,\mathscr{L}\!\left\{t^{-3/2} e^{-a^{2}/(4t)}\right\}(s) = -\sqrt{\pi}\,e^{-a\sqrt{s}},
portanto
\mathscr{L}\!\left\{t^{-3/2} e^{-a^{2}/(4t)}\right\}(s) = \frac{2\sqrt{\pi}}{a}\,e^{-a\sqrt{s}}.
Multiplicando ambos os lados por a/(2\sqrt{\pi}) dá a transformada desejada:
\mathscr{L}\!\left\{\frac{a}{2\sqrt{\pi}}\,t^{-3/2} e^{-a^{2}/(4t)}\right\}(s) = e^{-a\sqrt{s}}.
Assim a inversa é
g(t)=\mathscr{L}^{-1}\{e^{-a\sqrt{s}}\}(t)=\frac{a}{2\sqrt{\pi}}\,t^{-3/2} e^{-a^{2}/(4t)}.

Passo 6

Agora voltamos à convolução w(x,t)=\int_{0}^{t} f(t-\tau)\,g(\tau)\,d\tau. Substituindo g(\tau) e a=x/c obtemos
w(x,t)=\int_{0}^{t} f(t-\tau)\,\frac{a}{2\sqrt{\pi}}\,\tau^{-3/2} e^{-a^{2}/(4\tau)}\,d\tau =\frac{a}{2\sqrt{\pi}}\int_{0}^{t} f(t-\tau)\,\tau^{-3/2} e^{-a^{2}/(4\tau)}\,d\tau.
Finalmente, voltando a=x/c, chegamos à expressão pedida:
w(x,t)=\frac{x}{2c\sqrt{\pi}}\int_{0}^{t} f(t-\tau)\,\tau^{-3/2}\,e^{-x^{2}/(4c^{2}\tau)}\,d\tau.

Resposta

w(x,t)=\frac{x}{2c\sqrt{\pi}}\int_{0}^{t} f(t-\tau)\,\tau^{-3/2}\,e^{-x^{2}/(4c^{2}\tau)}\,d\tau.

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