Encontre a temperatura
numa barra semi-infinita, lateralmente isolada e que se estende ao infinito ao longo do eixo
, supondo que a temperatura inicial seja
quando
para todo valor fixo de
, e que
. Proceda como se segue.
Elabore o modelo e mostre que a transformada de Laplace leva a
e
Aplicando o teorema da convolução, mostre que
Elabore o modelo e mostre que a transformada de Laplace leva a
Passo 1
O enunciado pede a temperatura
As tarefas pedidas são: aplicar a transformada de Laplace em (t] para obter
resolver essa equação para mostrar
e, finalmente, inverter a transformada usando a convolução para concluir que
]
resolver essa equação para mostrar
e, finalmente, inverter a transformada usando a convolução para concluir que
Passo 2
Definimos a transformada de Laplace em
da função
por
e também
. Usamos a propriedade padrão da transformada de Laplace para derivada temporal:
Como a condição inicial é
, temos
. Aplicando a transformada de Laplace na PDE
obtemos
Isso mostra a relação pedida:
Passo 3
Agora tratamos a equação obtida como uma equação ordinária em
, com parâmetro
:
A equação característica é
, logo
. Portanto a solução geral é
onde
e
podem depender de
. Agora usamos as condições em
:
-
A condição no infinito exige que
permaneça limitada quando . O termo cresce com (para ), então devemos ter para garantir decaimento. (Também corresponde ao fato físico de que a solução não explode para .) -
A condição no contorno
traduz-se em . Substituindo na forma geral com dá .
Assim obtemos
que é exatamente a forma pedida.
Passo 4
Precisamos inverter a transformada de Laplace para obter
. Escrevemos
Pelo teorema da convolução, a inversa é a convolução temporal:
onde
. Então só falta determinar explicitamente
.
Passo 5
Vamos calcular
com
. Começamos lembrando a integral padrão
que é um resultado clássico (pode ser obtido usando substituições ou fórmulas com funções de Bessel; aqui o importante é saber e usar essa identidade). Tomando
e
obtemos
Isso significa que
Agora derivamos em relação a
para obter uma potência diferente de
. Diferenciando as duas expressões em
(dentro do domínio de validade) temos, pelo lado do tempo,
e pelo lado da transformada
Igualando as transformadas dos dois lados e isolando a transformada de
obtemos
portanto
Multiplicando ambos os lados por
dá a transformada desejada:
Assim a inversa é
Passo 6
Agora voltamos à convolução
. Substituindo
e
obtemos
Finalmente, voltando
, chegamos à expressão pedida: