- (Temperaturas arbitrárias nas extremidades) Se as extremidades
e
da barra no texto são mantidas a temperaturas constantes
e
, respectivamente, qual é a temperatura
na barra após um longo tempo (teoricamente, quando
)? Responda primeiro por palpite, depois calcule.
Passo 1
O enunciado dá uma barra no intervalo
cujas extremidades são mantidas, para todo o tempo, nas temperaturas constantes
em
e
em
. Pede-se a temperatura
na barra depois de muito tempo (teoricamente, quando
). O enunciado pede: primeiro um palpite (intuição) e depois o cálculo rigoroso.
Informações relevantes:
- Extremidades:
e para todo . - Queremos o comportamento quando
, ou seja, o estado estacionário . - Assume-se que a evolução térmica segue a equação do calor (difusão térmica), com difusividade
.
Passo 2
Palpite (intuição física): calor difunde e, com o tempo, o sistema alcança um equilíbrio em que a temperatura já não muda mais com o tempo. Nesse equilíbrio, não há variação temporal e o perfil de temperatura ao longo da barra costuma ser a linha reta que conecta
em
a
em
. Ou seja, eu espero que
Passo 3
Agora vamos calcular rigorosamente. A equação do calor unidimensional é
com as condições de contorno
e
. No estado estacionário (quando
) a temperatura não depende mais do tempo, isto é,
tende para uma função
que satisfaz
Passo 4
Colocando
na equação do calor obtemos a equação ordinária para o estado estacionário:
Como
, isto é equivalente a
para todo
. A interpretação: a segunda derivada zero significa que a curvatura é zero, logo a solução é uma reta (função afim).
Passo 5
Integramos a equação ordinária uma vez em
. A integral de zero é uma constante, então
onde
é uma constante de integração (num problema de contorno essa constante será determinada pelas condições nas extremidades).
Explicação didática: integrar
significa achar uma função cuja derivada é constante — essa é a definição de uma função linear.
Passo 6
Integramos novamente para obter
:
onde
é outra constante de integração. Então a forma geral do estado estacionário é uma função afim (reta) com dois parâmetros
e
.
Passo 7
Agora aplicamos as condições de contorno para determinar
e
.
Usando
obtemos
Usando
obtemos
Isolando
vem
Passo 8
Substituindo
e
na expressão geral, obtemos a solução final:
Verificação rápida: em
dá
; em
dá
. Além disso,
, então satisfaz a equação do estado estacionário. A difusividade
não aparece no estado estacionário porque ela só regula a velocidade com que o sistema atinge o equilíbrio, não o perfil final.
Passo 9
Observações úteis para a prova: memorize que com extremidades mantidas em temperaturas fixas o estado final é a solução de
com as mesmas condições de contorno — ou seja, a reta que interpola os valores das extremidades. Em exercícios parecidos, basta escrever a forma afim
e impor as condições de contorno para encontrar os coeficientes.