1. (Temperaturas arbitrárias nas extremidades) Se as extremidades x=0 e x=L da barra no texto são mantidas a temperaturas constantes U_{1} e U_{2}, respectivamente, qual é a temperatura u_{1}(x) na barra após um longo tempo (teoricamente, quando t \rightarrow \infty )? Responda primeiro por palpite, depois calcule.

Passo 1

O enunciado dá uma barra no intervalo [0,L] cujas extremidades são mantidas, para todo o tempo, nas temperaturas constantes \,U_{1} em x=0 e \,U_{2} em x=L. Pede-se a temperatura \,u_{1}(x) na barra depois de muito tempo (teoricamente, quando \,t\rightarrow\infty). O enunciado pede: primeiro um palpite (intuição) e depois o cálculo rigoroso.
Informações relevantes:
  • Extremidades: \,u(0,t)=U_{1} e \,u(L,t)=U_{2} para todo t.
  • Queremos o comportamento quando \,t\rightarrow\infty, ou seja, o estado estacionário \,u_{1}(x).
  • Assume-se que a evolução térmica segue a equação do calor (difusão térmica), com difusividade \kappa>0.

Passo 2

Palpite (intuição física): calor difunde e, com o tempo, o sistema alcança um equilíbrio em que a temperatura já não muda mais com o tempo. Nesse equilíbrio, não há variação temporal e o perfil de temperatura ao longo da barra costuma ser a linha reta que conecta \,U_{1} em x=0 a \,U_{2} em x=L. Ou seja, eu espero que
u_{1}(x)\text{ seja uma função linear em }x\text{ que vale }U_{1}\text{ em }x=0\text{ e }U_{2}\text{ em }x=L.çã

Passo 3

Agora vamos calcular rigorosamente. A equação do calor unidimensional é
\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=\kappa\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}(x,t),
com as condições de contorno \,u(0,t)=U_{1} e \,u(L,t)=U_{2}. No estado estacionário (quando \,t\rightarrow\infty) a temperatura não depende mais do tempo, isto é, \,u(x,t) tende para uma função \,u_{1}(x) que satisfaz
\frac{\partial u_{1}}{\partial t}(x)=0.

Passo 4

Colocando \partial u_{1}/\partial t=0 na equação do calor obtemos a equação ordinária para o estado estacionário:
0=\kappa\frac{d^{2}u_{1}}{dx^{2}}(x).
Como \kappa>0, isto é equivalente a
\frac{d^{2}u_{1}}{dx^{2}}(x)=0
para todo x\in(0,L). A interpretação: a segunda derivada zero significa que a curvatura é zero, logo a solução é uma reta (função afim).

Passo 5

Integramos a equação ordinária uma vez em x. A integral de zero é uma constante, então
\frac{d u_{1}}{dx}(x)=C_{1},
onde \,C_{1} é uma constante de integração (num problema de contorno essa constante será determinada pelas condições nas extremidades).
Explicação didática: integrar \,u_{1}''(x)=0 significa achar uma função cuja derivada é constante — essa é a definição de uma função linear.

Passo 6

Integramos novamente para obter u_{1}:
u_{1}(x)=C_{1}x+C_{2},
onde \,C_{2} é outra constante de integração. Então a forma geral do estado estacionário é uma função afim (reta) com dois parâmetros \,C_{1} e \,C_{2}.

Passo 7

Agora aplicamos as condições de contorno para determinar \,C_{1} e \,C_{2}.
Usando \,u_{1}(0)=U_{1} obtemos
u_{1}(0)=C_{1}\cdot 0 + C_{2}=C_{2}=U_{1}.
Usando \,u_{1}(L)=U_{2} obtemos
u_{1}(L)=C_{1}L + C_{2}=C_{1}L + U_{1}=U_{2}.
Isolando \,C_{1} vem
C_{1}=\frac{U_{2}-U_{1}}{L}.

Passo 8

Substituindo \,C_{1} e \,C_{2} na expressão geral, obtemos a solução final:
u_{1}(x)=U_{1}+\frac{U_{2}-U_{1}}{L}\,x.
Verificação rápida: em x=0 u_{1}(0)=U_{1}; em x=L u_{1}(L)=U_{1}+(U_{2}-U_{1})=U_{2}. Além disso, u_{1}''(x)=0, então satisfaz a equação do estado estacionário. A difusividade \kappa não aparece no estado estacionário porque ela só regula a velocidade com que o sistema atinge o equilíbrio, não o perfil final.

Passo 9

Observações úteis para a prova: memorize que com extremidades mantidas em temperaturas fixas o estado final é a solução de u''=0 com as mesmas condições de contorno — ou seja, a reta que interpola os valores das extremidades. Em exercícios parecidos, basta escrever a forma afim C_{1}x+C_{2} e impor as condições de contorno para encontrar os coeficientes.

Resposta

u_{1}(x)=U_{1}+\frac{U_{2}-U_{1}}{L}\,x

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